$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot f = - \alpha g f \\ \dot g = \alpha g f - \beta g \\ \dot h = \beta g \end{array}\right. $$
$$2\pi=6.28318530718\cdots$$
$$\sqrt 2=1.41421356237\cdots$$
$$\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n}=+\infty$$
$$1+\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \cdots = 2$$
$$e^{i\pi}=-1$$
$$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2} 2-\frac{x^3}3 - \cdots$$
$$\sin(x)=x-\frac{x^3} 6+\frac{x^5}{120} + \cdots$$
$$\lim_{n\rightarrow \infty}(1+x/n)^n=e^x$$
$$\frac{\pi^2} 6=\sum_n \frac 1 {n^2}$$
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
$$x_{n+1}=x_n-h \nabla J(x_n)$$
$$e^{x+y}=e^xe^y$$
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)} h$$
$$u_{n+1}=\frac {u_n+2/u_n} 2$$
$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$
$$\frac{dv}{dt} = g$$
Analyse et méthodes numériques
C'est limite réel
IUT Nice Sophia-Antipolis

Objet du cours

Théoriques

  • Maitrise des quantificateurs.
  • Application des notions de S1 (ensembles et fonctions).
  • Notions de limite, continuité, dérivation.

Applications

  • Résolution d'équations non linéaires.
  • Équations Différentielles Ordinaires (EDO).
  • Problèmes d'optimisation.

Outils

Python, Javascript, Processing.

Script de Vu Danny (S4T)

Plan du cours

  • Un peu de contexte

LOGIQUE

ARITHMÉTIQUE
Euclide (300 av. JC.)
GÉOMÉTRIE
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850)
ALGÉBRE
Newton (1643-1727) & Leibniz (1646-1716)
ANALYSE
$$\lim$$
$$\pi$$
\(\frac{223}{71}<\pi<\frac{22} 7\)
Archimède (287 - 212 av J.C.)
Ludolph van Ceulen (1540-1600)
$$ \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=\pi = \lim_{n\rightarrow \infty}A_n $$
$$ \lim_{n\rightarrow \infty} = ? $$ $$ \pi \in \mathbb{R} = ? $$

Définition d'une limite

Valeur absolue

$$ |x|=\left\{ \begin{array}{ll} x &\text{ si }x \geq 0 \\ -x&\text{ si } x \lt 0 \end{array}\right. $$

Définition : limite

$$\lim_{n\rightarrow \infty} u_n= \ell$$ ou $$u_n \rightarrow \ell $$
$u_n=1/n$
$\varepsilon=1$
$N=1$
$\varepsilon=0.2$
$N=5$
$\varepsilon=0.1$
$N=10$
\(\forall \varepsilon > 0, \exists N=1/\varepsilon\)
tel que \(\forall n>N,\,|u_n-0|<\varepsilon.\)

\(\small u_n=1/n\)

$u_1=1$
$u_2=\color{lightgreen}{0.}5$
$u_3=\color{lightgreen}{0.}33333\cdots$
$u_4=\color{lightgreen}{0.}25$
$u_5=\color{lightgreen}{0.}2$
$u_6=\color{lightgreen}{0.}16666\cdots$
$u_7=\color{lightgreen}{0.}14285\cdots$
$u_8=\color{lightgreen}{0.}125$
$u_9=\color{lightgreen}{0.}11111\cdots$
$u_{10}=\color{lightgreen}{0.}1$
$u_{11}=\color{lightgreen}{0.0}90909\cdots$
$u_{12}=\color{lightgreen}{0.0}83333\cdots$
  $\cdots$
$u_{100}=\color{lightgreen}{0.0}1$
$u_{101}=\color{lightgreen}{0.00}990099\cdots$
$u_{102}=\color{lightgreen}{0.00}980392\cdots$
  $\cdots$
$u_{1000}=\color{lightgreen}{0.00}1$
$u_{1001}=\color{lightgreen}{0.000}999000\cdots$
\(\small \lim u_n=\color{lightgreen}{0.000000\cdots}=0\)

Suite: d'Archimède

\(A_3= 5.19615242270663\)
\(A_6=\color{lightgreen}{3.}4641016151377544 \)
\(A_{12}=\color{lightgreen}{3.}2153903091734723\)
\(A_{24}=\color{lightgreen}{3.1}596599420975 \)
\(A_{48}=\color{lightgreen}{3.14}6086215131435\)
\(A_{96}=\color{lightgreen}{3.14}27145996453683 \)
\(A_{192}=\color{lightgreen}{3.141}8730499798233\)
\(A_{382}=\color{lightgreen}{3.141}6634829611327\)
\(A_{764}=\color{lightgreen}{3.141}6103605733334\)
\(A_{1528}=\color{lightgreen}{3.14159}7080313223\)
$$\mathcal C$$ Ensemble des suites de Cauchy de \(\mathbb Q\)

Suites de Cauchy

Les suites de Cauchy sont les suites qui approchent de mieux en mieux un nombre. Elles sont définies par $$ \lim_{n,m\rightarrow \infty} |u_n-u_m|=0. $$

Suites de Cauchy

Pour tout $\varepsilon \gt 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n, m\gt N$, $$ |u_n-u_m| \lt \varepsilon. $$

pi

$3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862$
$089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811$
$174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337$
$867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066$
$063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469$
$519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495$
$673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907$
$021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277$
$857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235$
$420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499$
$510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100$
$031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823$
$537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010$
$654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752$
$834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192$
$550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678$
$374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521$
$620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967$
$823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956$
$909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074$
$265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501$
$414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625$
$189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860$
$857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886$
$269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172$
$874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525$
$957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962$
$524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989$
$301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736$
$446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977$
$001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674$
$676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743$
$241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086$
$179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487$
$226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413$
$547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420$
$073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053$
$706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195$
$618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937$
$621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492$
$026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962$
$685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595$
$156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673$
$215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748$
$583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369$
$908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316$
$355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371$
$802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597$