Symétrique
Réflexive
Transitive
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot f = - \alpha g f \\
\dot g = \alpha g f - \beta g \\
\dot h = \beta g
\end{array}\right.
$$
$$2\pi=6.28318530718\cdots$$
$$\sqrt 2=1.41421356237\cdots$$
$$\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n}=+\infty$$
$$1+\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \cdots = 2$$
$$e^{i\pi}=-1$$
$$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2} 2-\frac{x^3}3 - \cdots$$
$$\sin(x)=x-\frac{x^3} 6+\frac{x^5}{120} + \cdots$$
$$\lim_{n\rightarrow \infty}(1+x/n)^n=e^x$$
$$\frac{\pi^2} 6=\sum_n \frac 1 {n^2}$$
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
$$x_{n+1}=x_n-h \nabla J(x_n)$$
$$e^{x+y}=e^xe^y$$
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)} h$$
$$u_{n+1}=\frac {u_n+2/u_n} 2$$
$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$
$$\frac{dv}{dt} = g$$
Analyse et méthodes numériques
Construction des Réels
IUT Nice Sophia-Antipolis
Construction des Réels
Construction de $\mathbb{N}$
Corbeilles Appariables
Corbeilles = Ensemble $\mathcal C$
Appariabilité = Relation d'équivalence $\mathcal R$
Boîtes de rangement = Classe d'équivalence $\mathcal C / \mathcal R$
Classons !
5
3
0
2
1
Union des corbeilles
2
+
3
=
5
Construction des réels
Suite de Héron
$u_0=2$
$u_{n+1}=f(u_n)$
avec $ f(x)=\frac 1 2 \left(x+\frac 2 x\right) $
$u_{n+1}=f(u_n)$
avec $ f(x)=\frac 1 2 \left(x+\frac 2 x\right) $
Suites de Cauchy
Suites d'approximations définissant un "nombre"
$$ \lim _{n,m\rightarrow \infty}|u_n-u_m|=0. $$ $\mathcal C$ = ensemble des suites de Cauchy de $\mathbb{Q}$.
$$ \lim _{n,m\rightarrow \infty}|u_n-u_m|=0. $$ $\mathcal C$ = ensemble des suites de Cauchy de $\mathbb{Q}$.
Définition d'un réel
La racine carré de $2$ est le nombre défini par la suite d'approximations $(u_n)$.
Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définissent le même nombre si
$$
\lim_n |u_n-v_n|=0.
$$
Dans ce cas, on note
$$
(u_n)\mathcal R (v_n)
$$
Ensemble des réels
$$
\mathbb R=\mathcal C/\mathcal R
$$
$\mathbb N$ versus $\mathbb R$
| $\mathcal C$ | $\mathcal R$ | $\mathcal C/\mathcal R$ |
| Corbeilles | Appariables | Nombres $\mathbb N$ |
| Suites de Cauchy de $\mathbb Q$ $\lim_{n,m} (u_n-u_m)=0$ | $\lim (u_n-v_n)=0$ | Réels $\mathbb R$ |
Propriétés de $\mathbb R$
$\mathbb Q \subset \mathbb R$
L'injection de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$ est définie par
$$
x \mapsto (x).
$$
Densité de $\mathbb Q$
Pour tout $x\in \mathbb R$, il existe $u_n$ suite de $\mathbb Q$ tel que
$$
\lim (u_n) = x.
$$
$\mathbb R$ est un corps commutatif
$$
(u_n)+(v_n)=(u_n+v_n)
$$
$$
(u_n)\times(v_n)=(u_n \times v_n)
$$
$\mathbb R$ est normé
$$
|(u_n)|=(|u_n|)
$$
$\mathbb R$ est ordonné
$$
(u_n) \leq (v_n)
$$
ssi
$$
(v_n)-(u_n)=|(v_n)-(u_n)|
$$
Complétude
Toute suite de Cauchy dans $\mathbb R$ est convergente.
Suites monotones
Toute suite croissante majorée de $\mathbb R$ est convergente.
Théorème de la borne supérieure
Soit $E$ un sous ensemble non vide de $\mathbb R$.
Il existe $m \in \mathbb R\cup\{-\infty\}$ et $M \in \mathbb R\cup \{+\infty\}$ tels que
$M=\sup E=$ borne supérieure de $E$
Il existe $m \in \mathbb R\cup\{-\infty\}$ et $M \in \mathbb R\cup \{+\infty\}$ tels que
- $m$ est le plus grand minorant de $E$
- $M$ est le plus petit majorant de $E$
Notation
$m=\inf E=$ borne inférieure de $E$$M=\sup E=$ borne supérieure de $E$
Preuve de la borne $\sup$
Comme $E\neq \emptyset \implies \exists a_0\in E$. Pour tout $n\in \mathbb N$, on pose $$ c_n=\frac{a_n+b_n} 2. $$ Si $c_n$ majorant de $E$, on pose $$ a_{n+1}=a_n\text{ et }b_{n+1}=c_n. $$ Si $c_n$ n'est pas un majorant, il existe $e_n\in E$ tel que $$ c_n \leq e_n. $$
- $a_n \lt b_n$
- $(a_n)$ est croissante
- $(b_n)$ est décroissante
- $|a_n-b_n| \rightarrow 0$
- $b_n$ majorant de $E \implies \ell$ majorant de $E$.
- $a_n \in E \implies \ell$ plus petit majorant.
Des Questions ?