$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot f = - \alpha g f \\ \dot g = \alpha g f - \beta g \\ \dot h = \beta g \end{array}\right. $$
$$2\pi=6.28318530718\cdots$$
$$\sqrt 2=1.41421356237\cdots$$
$$\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n}=+\infty$$
$$1+\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \cdots = 2$$
$$e^{i\pi}=-1$$
$$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2} 2-\frac{x^3}3 - \cdots$$
$$\sin(x)=x-\frac{x^3} 6+\frac{x^5}{120} + \cdots$$
$$\lim_{n\rightarrow \infty}(1+x/n)^n=e^x$$
$$\frac{\pi^2} 6=\sum_n \frac 1 {n^2}$$
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
$$x_{n+1}=x_n-h \nabla J(x_n)$$
$$e^{x+y}=e^xe^y$$
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)} h$$
$$u_{n+1}=\frac {u_n+2/u_n} 2$$
$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$
$$\frac{dv}{dt} = g$$
Analyse et méthodes numériques
Suites de $\mathbb{R}$
IUT Nice Sophia-Antipolis
Jacques Bernoulli (1654-1716)
$$\lim_{n\rightarrow \infty}(1+1/n)^n=b$$
Intérêts décomptés à l'année $$ s(1+1) $$
Intérêts décomptés tous les 6 mois
$$ s(1+1/2)(1+1/2) $$
$$ s(1+1/2)^2 $$
Intérêts décomptés tous les 4 mois
$$ s(1+1/3)(1+1/3)(1+1/3) $$
$$ s(1+1/3)^3 $$
Intérêts décomptés tous les $12/n$ mois
$$ s(1+1/n)\cdots(1+1/n) $$
$$ s(1+1/n)^n $$

Suite des intérêts composés

$(1+1)=2$
$(1+1/2)^2=2.25$
$(1+1/3)^3=2.3703703703703703703703703\cdots$
$(1+1/4)^4=2.44140625$
$(1+1/5)^5=2.48832$
$(1+1/6)^6=2.5216263717421124828532235\cdots$
$(1+1/7)^7=2.5464996970407131139479055\cdots$
$\cdots$
$
$(1+1/100)^{100}=2.7048138294215260932671947\cdots$
$\cdots$
$
$(1+1/200)^{200}=2.7115171229293747985489939\cdots$
$\cdots$
$
$(1+1/500)^{500}=2.7155685206517259295998493\cdots$
$$\Large{ (1+1/n)^n \rightarrow b} $$
Leonard Euler (1707-1783)
$$ (1+1/n)^n \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} \cssId{bernouilli}{b} $$
$$ (1+1/n)^n \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} \color{#ee9090} {\huge{\cssId{euler}{\class{null inline}{e}}}} $$

Suites convergentes

Rappel définition suite convergente

$ u=\lim_{n\rightarrow \infty} u_n \quad$ ou $ \quad u_n \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} u. $ $$ \Longleftrightarrow $$
$$ \forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb N, \forall n \gt N, $$ $$ |u_n-u|<\varepsilon. $$

Propriétés de base

$$ \lim (u_n+v_n)=\lim u_n + \lim v_n $$
Suite divergente

Suites divergentes

\(\exists u \in \mathbb R\), \(\forall u \in \mathbb R\), \(\forall \varepsilon>0,\) \(\exists \varepsilon>0,\) \(\exists N \in \mathbb N,\) \(\forall N \in \mathbb N,\) \(\forall n > N,\) \(\exists n >N,\)
$$ |u_n-u|<\varepsilon. $$
$$ |u_n-u|\geq \varepsilon. $$

Limites infinies

Règles de calcul

Formes indéterminées

Exemples

  • $(1/n)$
  • $((-1)^n)$
  • $(\alpha^n)$ avec $|\alpha| \lt 1$
  • $(\alpha^n)$ avec $\alpha \gt 1$

$\lim 1/n \rightarrow 0$

$\exists u \in \mathbb R$, \(u=0\), \(\forall \varepsilon \gt 0,\) \(\exists N \in \mathbb N,\) \(N=E(1/\varepsilon)\)
\(\forall n \gt N,\)
$$ |u_n-u| \lt \varepsilon. $$
$$ |1/n-0| \lt \varepsilon. $$
$$ 1/n \lt \varepsilon. $$
$$ n \gt 1/\varepsilon. $$

Suites extraites

Exemple de sous-suite

$$(v_n)=\left(\frac 1 {2n}\right) $$ est une sous-suite de $$(u_n)=\left(\frac 1 n\right)$$

Définition d'une sous-suite

$$(v_n)=(u_{\varphi(n)})$$ est une sous-suite de $$(u_n)$$ si $\varphi:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ croissante.

Convergence d'une sous-suite

Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente vers la même limite. $$\lim u_{\varphi(n)} = \lim u_n$$

Théorème de compacité dans $\mathbb R$

$(u_n)$ suite bornée de $\mathbb R$ $$ \Downarrow $$ $(u_n)$ admet une sous-suite convergente.

Critères de convergence.

Critère 1 : Cauchy (rappel)

\((u_n)\) de Cauchy.
$$ \Uparrow $$
\((u_n) \) convergente

Critère 2 : Montonie (rappel)

$(u_n)$ suite croissante majorée.
$(u_n)$ suite décroissante minorée.
$$ \Downarrow $$ $(u_n)$ convergente

Critère 3 : Suites adjacentes (corollaire)

Critère 4 : Th des Gendarmes

$$\lim v_n = \ell = \lim w_n$$ et $$v_n\leq u_n\leq w_n$$ $$ \Downarrow $$ $$\lim u_n=\ell$$