$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot f = - \alpha g f \\ \dot g = \alpha g f - \beta g \\ \dot h = \beta g \end{array}\right. $$
$$2\pi=6.28318530718\cdots$$
$$\sqrt 2=1.41421356237\cdots$$
$$\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n}=+\infty$$
$$1+\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \cdots = 2$$
$$e^{i\pi}=-1$$
$$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2} 2-\frac{x^3}3 - \cdots$$
$$\sin(x)=x-\frac{x^3} 6+\frac{x^5}{120} + \cdots$$
$$\lim_{n\rightarrow \infty}(1+x/n)^n=e^x$$
$$\frac{\pi^2} 6=\sum_n \frac 1 {n^2}$$
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
$$x_{n+1}=x_n-h \nabla J(x_n)$$
$$e^{x+y}=e^xe^y$$
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)} h$$
Analyse et méthodes numériques
Fonctions réelles
IUT Nice Sophia-Antipolis

$$ f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R^n $$
$$ f : D(f) \rightarrow \mathbb R^n $$

$\cos(x)$

$x^2$

$e^x$

$1/x$

$$ D(f)=\mathbb R^* $$

$t=$ $0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$ $0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$s$

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \dot v(t)=(0,-g) & \text{ pour }t\in [0,T] \\ \dot x(t)=v(t) & \text { pour }t\in [0,T]\\ x(0)=x_0\\ v(0)=v_0 \end{array} \right. $$ $x(t)$ = position du boulet au temps $t$
$v(t)$ = vitesse du boulet au temps $t$
Cliquer sur le canon

Épidémie

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot f = - \alpha g f \\ \dot g = \alpha g f - \beta g \\ \dot h = \beta g \end{array}\right. $$ $f$ = Proportion non contaminés
$g$ = Contaminés et contagieux
$h$ = Contaminés, non contagieux (décédés ou guéris).

Épidémie

$T$$=$
$\alpha$$=$
$\beta$$=$
$g_0$$=$
$h_0$$=$

Finance

Notation

$$ \begin{array}{rrcl} f:&D(f)&\rightarrow& \mathbb R \\ &x&\mapsto& f(x) \end{array} $$

Définition Limite

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x)=\ell $$ ssi $\forall (x_n) \in \mathbb R^{\mathbb N}$ tel que $x_n\rightarrow a$, $$ \lim f(x_n)=\ell. $$

Définition Limite 2

$$ \lim_{\begin{array}{c} x\rightarrow a \\ \color{red}{x\in A} \end{array}} f(x)=\ell $$ ssi $\forall (x_n) \in \color{red}A^{\mathbb N}$ tel que $x_n\rightarrow a$, $$ \lim f(x_n)=\ell. $$

Définition Limite 3

Si $f:\mathbb R \rightarrow \color{red}{\mathbb R^n}$, $$ \lim_{\begin{array}{c} x\rightarrow a \end{array}} f(x)=\ell $$

Exemples de limites

$$ \lim_{x\rightarrow 0} \sin(x)=0 $$
$$ \lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^{1/x}=e $$
$$ \lim_{\begin{array}{c} x\rightarrow 0 \\ x\in \mathbb R_+ \end{array}} 1/x=+\infty $$
$$ \lim_{x\rightarrow 0}\left( \begin{array}{c} x \\ (x+1)^2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) $$

Continuité

$f$ est continue en $a$ ssi $$ \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a). $$

Continuité Globale

$f$ est dit continue ssi
$f$ est continue en tout $x\in D(f).$

$\cos(x)$

$x^2$

$e^x$

$1/x$

Mouvement brownien

Partie entière $E(x)$

Notation

$\mathcal C(X)$= Fonctions continues sur $X$
à valeurs dans $\mathbb R$.

Prolongement
par continuité

Adhérence d'un ensemble

$$ \overline D=\big\{x \in \mathbb R~:~\exists (x_n) \in D^{\mathbb N}\text{ tel que } x_n\rightarrow x\big\}. $$

Définition

$f$ est prolongeable par continuité en $x^*\in \overline {D(f)}$

$(1+x)^{1/x}$ prolongeable en $x=0$ ?

$1/x$

Dérivabilité

$x^2$

cliquer sur la droite
$ \frac{f(\color{#99ee99} x)-f(\color{#9999ee}y)}{\color{#99ee99} x-\color{#9999ee}y} $
Taux d'accroissement entre $\color{#99ee99} x$ et $\color{#9999ee} y$.
Pente de la droite
$$ \frac{f(\color{#99ee99} x)-f(\color{#9999ee}y)}{\color{#99ee99} x-\color{#9999ee}y} \xrightarrow{ \begin{array}{c} \color{#9999ee}y \rightarrow \color{#99ee99} x\\ \end{array} }f'(\color{#99ee99} x) $$
$f$ est dite dérivable en $\color{#99ee99} x$
de dérivée $f'(\color{#99ee99} x)$

$|x|$

$x\mapsto |x|$ n'est pas dérivable en $x=0$.

Règles de dérivation

$$ (\alpha f+g)'=\alpha f'+g' $$

Dérivées Classiques

$$ (x^n)'=n x^{n-1} $$

Ordre supérieur

Si $f'$ est dérivable, on note $f''$ sa dérivée.