$$
\cos(\delta x)=\color{#ee9999}{\cos(0)+\cos'(0) \delta x } \\
\color{#99ee99}{+\frac{ \cos''(0)} 2 \delta x^2} \\
\color{#9999ee}{+\frac{\cos^{(3)}(0)}{3!} \delta x^3} \\
\color{#ffff88}{+\frac{\cos^{(4)}(0)}{4!} \delta x^4} \\
+\cdots+\frac{ \cos^{(n)}(0)}{n!} \delta x^n
+ o(\delta x^n)
$$
$$
\cos(\delta x)=\color{#ee9999}{\cos(0)+\cos'(0) \delta x } \\
\color{#99ee99}{+\frac{ \cos''(0)} 2 \delta x^2} \\
\color{#9999ee}{+\frac{\cos^{(3)}(0)}{3!} \delta x^3} \\
\color{#ffff88}{+\frac{\cos^{(4)}(0)}{4!} \delta x^4} \\
+\cdots+\frac{ \cos^{(n)}(0)}{n!} \delta x^n
+ o(\delta x^n)
$$
$$
\cos(\delta x)=\color{#ee9999}{1} \\
\color{#99ee99}{+\frac{ \cos''(0)} 2 \delta x^2} \\
\color{#9999ee}{+\frac{\cos^{(3)}(0)}{3!} \delta x^3} \\
\color{#ffff88}{+\frac{\cos^{(4)}(0)}{4!} \delta x^4} \\
+\cdots+\frac{ \cos^{(n)}(0)}{n!} \delta x^n
+ o(\delta x^n)
$$
$$
\cos(\delta x)=\color{#ee9999}{1} \\
\color{#99ee99}{-\frac{ 1} 2 \delta x^2} \\
\color{#9999ee}{+\frac{\cos^{(3)}(0)}{3!} \delta x^3} \\
\color{#ffff88}{+\frac{\cos^{(4)}(0)}{4!} \delta x^4} \\
+\cdots+\frac{ \cos^{(n)}(0)}{n!} \delta x^n
+ o(\delta x^n)
$$
$$
\cos(\delta x)=\color{#ee9999}{1} \\
\color{#99ee99}{-\frac{1} 2 \delta x^2} \\
\color{#ffff88}{+\frac{\cos^{(4)}(0)}{4!} \delta x^4} \\
+\cdots+\frac{ \cos^{(n)}(0)}{n!} \delta x^n
+ o(\delta x^n)
$$
$$
\cos(\delta x)=\color{#ee9999}{1} \\
\color{#99ee99}{-\frac{1} 2 \delta x^2} \\
\color{#ffff88}{+\frac{1}{4!} \delta x^4} \\
+\cdots+\frac{ \cos^{(n)}(0)}{n!} \delta x^n
+ o(\delta x^n)
$$
$$
\cos(\delta x)=\color{#ee9999}{1} \\
\color{#99ee99}{-\frac{1} 2 \delta x^2} \\
\color{#ffff88}{+\frac{1}{4!} \delta x^4} \\
+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!} \delta x^{2n}
+ o(\delta x^{2n})
$$