$$ \def \N {\mathbb N} \def \R {\mathbb R} $$
$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot f = - \alpha g f \\ \dot g = \alpha g f - \beta g \\ \dot h = \beta g \end{array}\right. $$
$$2\pi=6.28318530718\cdots$$
$$\sqrt 2=1.41421356237\cdots$$
$$\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n}=+\infty$$
$$1+\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \cdots = 2$$
$$e^{i\pi}=-1$$
$$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2} 2-\frac{x^3}3 - \cdots$$
$$\sin(x)=x-\frac{x^3} 6+\frac{x^5}{120} + \cdots$$
$$\lim_{n\rightarrow \infty}(1+x/n)^n=e^x$$
$$\frac{\pi^2} 6=\sum_n \frac 1 {n^2}$$
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
$$x_{n+1}=x_n-h \nabla J(x_n)$$
$$e^{x+y}=e^xe^y$$
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)} h$$
Analyse et méthodes numériques
Équations Différentielles Ordinaires
IUT Nice Sophia-Antipolis

$$ \dot x=f(t,x) $$

Dynamique des populations

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x(t) = a x(t) &\text{ pour tout }t \gt 0 \\ x(0)=x_0 \end{array} \right. $$
  • $x(t)$ = Population au temps t
  • $x_0$ = Population intiale
  • $a$ = Taux de reproduction
$$ x(t)=x_0 e^{a t} $$

Circuit (R)LC

$$ \left\{ \begin{array}{l} \ddot I(t) +\frac 1 {LC} I(t)=0 &\forall t \gt 0 \\ I(0)=I_0\\ L\dot I(0)=V_0 \end{array} \right. $$
  • $I(t)$ = Intensité dans la réseau
  • $L$ = inductance
  • $C$ = capacité
  • $I_0, V_0$ = intensité, voltage initiaux
$$ I(t)=I_0 \cos(\omega t)+\frac{V_0}{L\omega} \sin(\omega t) $$

Modèle de Verhulst

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \dot x(t)=a x(1-x/K) &\forall t>0 \\ x(0)=x_0 \end{array} \right. $$ $K$ = capacité d'accueil

Mécanique du point

$$ \left\{ \begin{array}{ll} m \ddot x(t) = F&\text{ pour tout }t \gt 0 \\ \dot x(0)=v_0 \\ x(0)=x_0 \end{array} \right. $$
  • $m$ = Masse
  • $F$ = Force appliquée
  • $x(t)$ = Position au temps t
  • $v_0$ = Vitesse initiale
  • $x_0$ = Position initiale
$$ x(t)=F\frac{t^2}{2m} + v_0 t + x_0 $$

Propagation d'une épidémie

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \dot f(t) = - \alpha g(t) f(t) &\text{ pour tout }t \gt 0 \\ \dot g(t) = \alpha g(t) f(t) - \beta g(t) &\text{ pour tout }t \gt 0 \\ \dot h(t) = \beta g &\text{ pour tout }t \gt 0 \\ f(0)=f_0 ; g(0)=g_0 ; h(0)=h_0 \\ \end{array}\right. $$
  • $f(t)$ = Nombre de personnes non infectées
  • $g(t)$ = Nombre de personnes infectées contagieuses
  • $h(t)$ = Nombre de personnes infectées non-contagieuses
  • $\alpha$ = Contagiosité du virus
  • $\beta$ = Vitesse de rémission

Approximation Numérique

Exemple

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x(t) = a x(t) &\text{ pour tout }t \gt 0 \\ x(0)=x_0 \end{array} \right. $$

Schéma numérique

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x(t) = a x(t) &\forall t \gt 0 \\ x(0)=x_0 \end{array} \right. $$
$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} = a x_n &\forall n \gt 0 \\ x_0=x_0 \end{array} \right. $$
$$ x(t_n) \simeq x_n $$ $$ \dot x(t_n)\simeq \frac{x(t_{n+1})-x(t_n)}{\Delta t} \simeq \frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} $$

Application