Mathieu Anel : Sur les topos.
Le premier exposé de Mathieu Anel aura lieu en partenariat avec le Séminaire La pensée des sciences .
Cours 1 (SLIDES) - L'intuition géométrique des topos
Abstract: On présentera la notion de topos comme une réponse à l'insuffisance de la notion d'espace topologique pour encoder toutes les formes de spatialité auquel le mathématicien est confronté. Plus précisément, les topos sont un moyen de formaliser des espaces très non-séparés. On rappellera comment la notion d'ouvert sert classiquement à séparer les points et pourquoi elle est insuffisante dans certains cas. On expliquera comment la notion d'homémorphisme local est plus efficace et comment interpréter cela. Si le temps permet, on conclura sur l'insuffisance des topos eux-mêmes.Cours 2 (SLIDES)- Les topos en analogie avec les anneaux commtutatifs 1/2
Le but de l'exposé sera d'esquisser une présentation de la théorie des topos en parallèle avec l'algèbre commutative. On introduira la notion de topos libre et on se focalisera ensuite sur la construction de quotients (congruences). On montrera comment ce point de vue amène de nouvelles méthodes pour travailler sur les localisations (forcing).Cours 3 (SLIDES) - Les topos en analogie avec les anneaux commtutatifs 2/2
On introduira la nécessité des catégories supérieures par une critique de la théorie des ensembles. Une fois ce nouveau paradigme établi, on justifiera l'importance de la notion de topos supérieur et on l'illustrera à l'aide de la théorie homotopique des types.Olivia Caramello, Dualités de type de Stone par des ponts topos-théoriques.
Abstract: On présentera une approche unifiante des dualités de type de Stone qui permet d'interpréter différentes dualités connues comme résultant d'un unique phénomène topos-théorique et d'en engendrer de nouvelles. Ces dualités découlent naturellement de ponts topos-théoriques obtenus en ``fonctorialisant'' des équivalences entre différentes représentations d'un même topos. Nous discuterons aussi les possibilités que cette approche ouvre pour étudier les relations entre différentes structures qui se correspondent par le biais d'un topos commun.
Paul-André Melliès : Langages de programmation et diagrammes de cordes.
Abstract: Nous présenterons certains développements récents au point de rencontre entre théorie de la démonstration, sémantique des langages de programmation et topologie de petite dimension. Nous commencerons par introduire la notion de catégorie de dialogue enrubannée, qui relâche la notion de catégorie enrubannée utilisée traditionnellement en théorie des représentations et des invariants de noeuds. Si la catégorie enrubannée libre a pour morphismes des entrelacs topologiques, nous verrons que la catégorie de dialogue enrubannée libre a pour morphismes les démonstrations d'une certaine logique tensorielle enrubannée. A partir de là, nous expliquerons comment voir les démonstrations de cette logique tensorielle comme des stratégies interactives entre jeux de dialogue, décrites au moyen de diagrammes de cordes 2- ou 3-catégoriques. Nous étendrons enfin ce paradigme algébrique et calculatoire à des langages de programmation avec effets algébriques: non-déterminisme, écriture et lecture en mémoire, ou effets probabilistes. Pour en savoir plus: https://www.irif.fr/~mellies/habilitation.html