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Lieu : Salle de Conférences, Laboratoire J.-A. Dieudonné.

Voir la page INFORMATIONS PRATIQUES pour se rendre au Laboratoire.

Objectifs

Le réseau PhilMathMED réunit des chercheurs des Universités d'Aix-Marseille, Montpellier, Nice, Toulouse et Turin, autour de la didactique, l'histoire et la philosophie des mathématiques. Il est soutenu par le GDR PhilMath (Philosophie des mathématiques).
La prochaine rencontre du réseau aura lieu les 25 et 26 Mai 2023 à Nice. Elle est soutenue par
le GDR PhilMath
et les équipes de recherche constituantes du réseau:
CGGG - Centre Gilles-Gaston Granger, UMR 7304
IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck, UMR 5149
IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR 5219
LJAD - Laboratoire J.-A. Dieudonné, UMR 7351

L'entrée est libre, mais les participants sont invités à prévenir patras@unice.fr pour l'organisation des pauses et repas et l'accès au campus. Un soutien financier est possible pour ceux qui souhaiteraient participer mais auraient des difficultés à faire financer l'ensemble de leur mission par leur laboratoire, contactez patras@unice.fr.

ORATEURS INVITES :

Andrea ARIOTTO (Università degli Studi di Torino et Sorbonne Université)
Clemens BERGER (Université Côte d'Azur)
Francesca BIAGIOLI (Università degli Studi di Torino)
Olivier DARRIGOL (Université Paris Cité)
Frédéric JAECK (Aix-Marseille Université)
Jean-Pierre MARQUIS (Université de Montréal)
Andrea SERENI (IUSS Pavia)

PROGRAMME :

Jeudi 25 Mai 2023

9h00 Accueil

9h30 -10h45 Andrea SERENI (Pavia), Caesar Constrained. Applicability, Neologicism, and Structuralism.

Francesca Boccuni (San Raffale University, Milan) & Andrea Sereni (IUSS Pavia).
Recent debates on the foundations of mathematics see the rivalry between neo-logicism and (ante rem) structuralism, hence between different ways of conceiving of the subject-matter of arithmetic, respectively as a science concerned with individual abstract objects or else with an abstract structure.
Among the arguments neo-logicists advance against structuralists, Wright and Hale argue that only a definition of natural numbers based on Hume's Principle -- contrary to a structuralist stipulation of the Dedekind-Peano Axioms -- meets Frege's Constraint (FC): this requires that a good definition of the concept of number encodes a principle explaining the general applicability of that concept, and of the theory governing it. Wright and Hale offer a robust reading of FC, which can be met only if the concept of number is explained as a concept of individual objects.
A classical obstacle for HP to be a genuine definition is the infamous Caesar Problem (CP) raised by Frege. A solution to CP is required for the concept of number to qualify as a (pure) sortal concept (as desired). In this talk, we will look closely at the inter-dependency between the neo-logicists' solution to CP, and their claim that HP meets FC.
We will first suggest that the neo-logicist solution to CP eventually makes HP an "arrogant", and hence unsuitable, definition, according to their own distinctions. However, we also contend that until a stable solution to CP is offered, the ability of HP to meet FC is jeopardized. Hence, a solution to CP is a necessary condition for one of the major arguments in favour of a platonist conception of arithmetic as opposed to a structuralist one.  Conversely, moreover, any position able to circumvent CP -- as structuralism may be -- could be in a position to meet (possibly alternative versions of) of FC.

11h00-12h15 Andrea ARIOTTO (Torino-Paris), Unité et mouvement de la science : le rôle de la notion de structure dans l'épistémologie de Cavaillès.

Dans cet exposé, je m'intéresserai au projet épistémologique général de Cavaillès, qui apparaît dans le texte « Sur la logique et la théorie de la science » afin d'analyser la place occupée par la notion de structure et définir sa fonction. Je prendrai mon point de départ dans le pages consacrées à la théorie de la science de Bolzano pour montrer le contexte théorique qu'influence la lecture de Cavaillès. Je tâcherai en particulier d'indiquer les liens avec trois éléments fondamentaux : premièrement, avec le structuralisme mathématique, en tant qu'il constitue l'ancrage technique fondamental de la pensée de Cavaillès. Deuxièmement, je reviendrai sur l'analyse du formalisme et, surtout, du projet hilbertien de la théorie de la démonstration dans « Méthode axiomatique et formalisme », auquel il semble songer dans l'analyse ultérieure de la théorie de la science de Bolzano. Troisièmement, j'indiquerai dans la théorie de la science husserlienne le cadre principal à partir duquel Cavaillès interprète la pensée de Bolzano et pose le problème spécifique de la théorie de la science. En invoquant la notion de structure comme solution au problème de la réflexivité des mathématiques, il semble anticiper, déjà dans les pages sur Bolzano, des éléments fondamentales de sa critique de la phénoménologie et mettre en lumière la portée proprement épistémologique de la notion de structure dans l'économie de « Sur la logique et la théorie de la science ».

12h30-14h00 Pause

14h - 15h15 Clemens BERGER (Nice), Isomorphie et équivalence. Sur l'évolution de la notion de structure mathématique au cours du vingtième siècle.

Résumé: A l'aube du vingtième siècle le paradoxe de Russell mettait en péril les fondements mêmes des mathématiques. Ce ``tremblement de terre'' engendrait une révision complète non seulement de la théorie des ensembles mais également de celle des ensembles structurés. L'oeuvre de Bourbaki en est un témoignage de prime importance. En parallèle, sous l'impulsion de constructions fondamentales reliant topologie et algèbre, plusieurs mathématiciens (dont Eilenberg et Grothendieck) proposaient une approche nouvelle et ``révolutionnaire'' aux structures mathématiques, qui reléguait en arrière-plan les objets structurés en mettant en avant les morphismes entre de tels objets préservant la structure. Ce fut la naissance de la notion de catégorie d'objets. Il s'avère alors que deux objets sont identifiables dès qu'ils sont isomorphes tandis que deux catégories d'objets sont identifiables dès qu'elles sont équivalentes. Cette distinction entre isomorphie et équivalence fut prolongée par Voevodsky en une hiérarchie infinie de types d'identités dont le formalisme s'apparente de manière inattendue à la modélisation algébrique des types d'homotopie d'espaces topologiques.

15h30 - 16h30 Table ronde (P. Cantù, Th. Hausberger, S. Maronne). Actualité du structuralisme.

17h - 18h30 Olivier DARRIGOL (Paris), Les principes de relativité avant la théorie de la relativité.

Résumé : On pense généralement que le principe de relativité avait longtemps servi la mécanique quand, vers 1900, Poincaré et Einstein s'en emparèrent pour reformuler l'électrodynamique des corps en mouvement et pour élaborer ce que nous appelons la théorie de la relativité. En réalité, la plupart des physiciens avant la Relativité ne regardaient pas la relativité galiléenne comme un principe mais plutôt comme une loi empirique (Galilée) ou comme un théorème (Newton et la plupart de ses successeurs). Il est pourtant vrai qu'au XVIIe siècle Christian Huygens inaugura une tradition pérenne de dérivation de lois mécaniques à partir de principes constructifs de relativité. Le pluriel s'impose ici car depuis Newton on considérait deux types de relativité : d'une part l'invariance Galiléenne affirmée par Galilée, d'autre part une invariance plus générale par rapport à une accélération globale du système de corps (un peu comme dans le principe d'équivalence d'Einstein). Nous verrons comment les principes de relativité prospérèrent dans les mains d'Euler, d'Alembert et Laplace puis devinrent la base d'une dérivation populaire de la loi d'accélération de Newton dans les traités de physique français du XIXe siècle. Il s'avère que Poincaré et Einstein étaient tous deux conscients de cette tradition et que Poincaré y puisa le nom principe du mouvement relatif, plus tard altéré en principe de relativité. En donnant tous deux à ce principe un rôle architectonique majeur, ces deux auteurs étaient les héritiers lointains de Huygens.

20h Repas de gala

Vendredi 26 Mai 2023

9h30-10h45 Frédéric JAECK (Aix-Marseille), Contamination poétique de la structure.

Résumé : Le point de départ de mon exposé sera l'existence d'un double mode de pensée en mathématiques, l'un permettant de manipuler des objets selon des règles et un jeu qui sont coconstruits, le second étant un mode progressif où la structure laisse la place à des liaisons beaucoup plus diffuses et emmêlées. La contamination permanente de ces deux modes de pensée permet de repenser la structure à nouveaux frais et de mettre au jour une architechtonique qui rapproche la langue mathématique d'une langue poétique.

11h00-12h15 Jean-Pierre MARQUIS (Montréal), La normativité du structuralisme abstrait en mathématiques pures.

Résumé : J'aimerais présenter le structuralisme abstrait en mathématiques en tant que cadre épistémique normatif. Le structuralisme abstrait n'est pas une thèse ontologique sur la nature des entités mathématiques, il s'agit plutôt, de notre point de vue, d'une posture épistémique normative et qui ne peut se résumer à ce qu'on appelle parfois dans la littérature le « structuralisme méthodologique », par opposition au « structuralisme philosophique ». Nous tenterons de clarifier ce que signifie cette affirmation ainsi que ce qu'elle présuppose et ce qu'elle implique, tout particulièrement du point de vue ontologique. .

12h30-14h00 Pause

14h00-15h15 Francesca BIAGIOLI (Torino), Mathematical structuralism and the relativization of the Kantian a priori.

The idea of a relativization of the Kantian a priori to the presuppositions for the possibility of scientific inquiries - first articulated by Cassirer and others in connection with the revolutions of physics in the early twentieth century - has been enjoying a revival in more recent philosophy of science. However, it is being questioned whether this view provides sufficient resources to account for scientific change. Given Cassirer's commitment to a structuralist account of mathematics in its internal development as well as in its scientific applications, it seems that the only strategy available to him and his followers is to establish an abstract relation of approximate inclusion between succeeding theories. This paper aims to explore a somewhat different strategy inspired by Cassirer's functional model of concept formation in some key examples from his epistemological works, where the focus is on how structural procedures from nineteenth-century real analysis, analytic and projective geometry can find a fruitful expansion and a variety of applications to nonmathematical domains. My suggestion is that Cassirer's account sheds light on the role of mathematics in the relativization of the Kantian a priori, and is of particular interest in the philosophical discussion of the epistemological implications of cases where there is a cross-fertilization between different branches of mathematics, as well as a co-evolution of mathematical and physical theories.

15h30-16h30 Discussion générale, Animation du réseau PHILMATHMED

Le langues du workshop seront le français, l'italien et l'anglais.

Coordinateurs et contacts :

Francesca BIAGIOLI (Università degli Studi di Torino)
Paola CANTU (CNRS - Université Aix-Marseille)
Thomas HAUSBERGER (Université de Montpellier)
Sébastien MARONNE (Université de Toulouse)
Frédéric PATRAS (CNRS - Université de Nice)

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