Systèmes dynamiques pour l'économie, L3 Mass




 

L'examen terminal aura lieu comme indiqué sur le site du L3 Mass le mercredi 21 Mars de 10 à 12H, dans l'Amphi habituel.

  Errata : il peut y avoir qlcq erreurs de calcul dans les énoncés ou dans les corrigés ciu-dessous : vérifiez les calculs!



Deuxième semestre. 
Cours : 12 heures, TD : 12 heures

Enseignants : Michel Rascle (Responsable), P. Del Moral  en 2004-2005, V. Dolean  en 2005-2006


Objectif du Cours

Ce cours de Licence est consacré à la présentation de notions élémentaires de la théorie des systèmes dynamiques. Sans se limiter aux seuls systèmes motivés par l'économie, le but est de donner aux étudiants les outils de base pour leur permettre de décrire des exemples de modèles élémentaires en économie, par exemple : gestion flux et de stocks, ajustement continu de prix en fonction de l'offre et de la demande, ou encore stabilité de l'équilibre de modèles non linéaires de croissance monétaire : e.g. le modèle de Tobin, ou le modèle de croissance économique cyclique de Goodwin, qui est la version en économie du célèbre modèle d'interaction proies/prédateurs de Lotka-Volterra, et qui est donc un exemple de modèle très simple, mais capable de prédire l'existence de cycles en économie ... Enfin, on on insistera plus cette année sur les systèmes dynamiques discrets.

Descriptif du Cours


Une partie (importante !) du cours vise à consolider les fondements de calcul différentiel et d'algèbre linéaire rencontrés dans le premier cycle universitaire, au fur et à mesure de la progression du cours. On précise d'abord le problème de Cauchy pour un système différentiel d'ordre 1, puis le Théorème de Cauchy-Lipschitz : existence (globale, locale), unicité de la solution. On décrit ensuite qualitativement les équations différentielles ordinaires (EDO) scalaires d'ordre 1 : points d'équilibre, stabilité, interprétation graphique.

On décrit ensuite en détail la résolution des EDO scalaires (linéaires ) d'ordre 2, puis plus généralement celle des systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 en dimension 2 : états stationnaires, étude et tracé des trajectoires, stabilité... On étudiera ensuite  les systèmes dynamiques discrets en cours et en TD. 

On revient ensuite au cas non linéaire : lien avec l'étude du système linéarisé, stabilité ... puis on introduit les notions de fonction de Lyapunov, d'intégrale première, et on présente quelques classes de systèmes typiques : flot-gradient, systèmes Hamiltoniens, exemples de comportement en grand temps, extensions diverses ... Comme indiqué ci-dessus dans les Objectifs du Cours, sans nous limiter aux seuls systèmes motivés par l'économie, on décrira en cours et/ou en TD quelques exemples de modèles élémentaires en économie, e.g. celui de Goodwin.


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