Master 1 Mathématiques

 Systèmes dynamiques, M1 Math, 2008-2009

 Deuxième semestre.

Enseignant : Michel Rascle 

Feuilles de TD  : voir ci-dessous

 Rappel : Séance de TD supplémentaire vendredi 10 Avril 13-15H, en salle M0/3  

 Contrôle terminal lundi 20 Avril, salle M2/6 de 14 à 16H. Calculettes interdites. Documents autorisés : 2 feuilles manuscrites recto-verso, sauf 

pour la question de cours !!   

    

Objectifs du Cours

La première partie de ce cours de M1 est consacrée à la présentation de notions de base de la théorie des systèmes dynamiques, avec une double motivation : 

- présenter l'un des domaines les plus ludiques  des Mathématiques, où on peut faire appel à l'intution géométrique : portraits de phase, discussion graphique de la stabilité
 ou de l'instabilité d'un état
d'équilibre, existence ou non de solutions périodiques décrivant des trajectoires fermées ... tout en faisant des Mathématiques rigoureuses - très utiles
en particulier pour l'Agrégation et naturellement
pour le M2 - bref des Mathématiques avec un très bon rapport "qualité/prix" ... 

- décrire en détail des exemples de motivations ou d'applications, e.g.  en biologie : modèles de populations, modèles de proies-prédateurs, e.g. Lotka-Volterra (proies-prédateurs)
ou sa version en
économie (Goodwin) dont le but est de décrire l'existence de cycles en économie, ou plus classiquement en Mécanique (pendule, oscillations avec amortisseurs,
phénomènes de résonance ...) et sur
cette base de présenter les prototypes de deux cas extrèmes : systèmes hamiltoniens et systèmes de flots de gradient.

On traitera en particulier les points suivants :

- Théorème de Cauchy-Lipschitz : existence locale ou globale, unicité, dépendance continue des données
- Cas d'une seule équation,  états d'équilibre, discussion graphique de la stabilité ...
- Systèmes linéaires, formule de Duhamel, stabilité.
- Comportement en grand temps, intégrale première, fonction de Lyapunov, liens entre la stabilité du pb non linéaire et celle du pb linéarisé. Cas des systèmes hamiltoniens, des
systèmes dissipatifs ...


En fonction des projets des étudiants, notamment pour le M2, on pourra ensuite  développer dans la deuxième partie quelques-uns des points suivants :
 
- Exemples de systèmes dynamiques discrets, e.g. de la cascade de Feigenbaum : comment expliquer des comportements très complexes avec une dynamique très simple ?
- Exemples de problèmes d' EDO liés à des problèmes d'EDP, e.g.  discrétisation d'EDP, ex méthode de Fourier pour l'équation de la chaleur (ou pour l'équation des ondes),
ou : notion de courbe caractéristique
et applications : équation de transport, équation de Burgers, équation de Hamilton-Jacobi et système bi-caractéristique associé,
ou : existence de traveling waves (ondes progressives) joignant deux états d'équilibre (trajectoires hétéroclines pour l'EDO),
ou : limite "fluide"  de grands systèmes d'EDO ...

Sommaire

            5. Indications sur l'équation de transport. Notion de courbe caractéristique. Formule de Duhamel

                    Notes de cours manuscrites

 Contrôles 2008-2009

              Corrigé du contrôle 02/03/09 et d'un exercice de la Feuille TD2               Contrôle du 02/03/09 Contrôle du 02/03/09  

Feuilles de TD 2008-2009

          TD 5 TD5 2008-09       TD 4 TD4 2008-09              TD 3 TD3 2008-09                 TD 2 TD2 2008-09              TD 1 TD1 2008-09        

Pour une version de la première partie de ce cours plus orientée vers l'économie et la gestion, voir e.g.

Systèmes dynamiques pour l'économie