Mini-Cours


*Thomas Alazard


Paralinéarisation de l'opérateur de Dirichlet-Neumann et applications aux ondes de surface


Ce mini-cours porte sur l'étude des ondes de surface pour un fluide idéal.

Toute la difficulté du problème est dans le fait que l’on travaille dans un domaine à frontière libre. Il s'agit alors de comprendre les propriétés de l'opérateur de Dirichlet-Neumann associé à un domaine de régularité limitée. Le premier but de ce mini-cours est de démontrer une formule de paralinéarisation de l'opérateur de Dirichlet-Neumann dans ce contexte.

On appliquera ensuite cette formule dans deux situations distinctes.

D'abord pour résoudre le problème de Cauchy avec des données de régularité minimale au sens de la théorie des systèmes hyperboliques quasi-linéaires (travail en collaboration avec Nicolas Burq et Claude Zuily).

Ensuite pour étudier la régularité des ondes progressives 3D de Gérard Iooss et Pavel Plotnikov (travail en collaboration avec Guy Métivier).



*Walter Craig (McMaster University ) 3h


Tores invariants de dimension finie et infinie pour les EDP Hamiltoniennes.


Ce cours porte sur les équations aux derivées partielles Hamiltoniennes

(EDP Hamiltoniennes), une classe importante d'équations provenant de

la physique mathématique. L'idée de base est de les considérer comme

des champs de vecteurs Hamiltoniens sur un espace de phase Hilbertien,

et de prolonger les techniques analytiques des systèmes Hamiltoniens à la dimension infinie. Je vais présenter les exemples principaux, une théorie de transformations, une esquisse des formes normales, et un résultat de construction des tores Lagrangiens invariants par une approche à la théorie KAM.



*Gerard Iooss (IUF Nice) 3h


Théorie des vagues périodiques non symétriques


On considère les vagues à la surface libre d'une couche infinie de fluide incompressible en écoulement potentiel, en l'absence de tension de surface et où l'on cherche les patterns périodiques, non symétriques par rapport à la direction de propagation. On définit le couple d'amplitudes (ε1, ε2) relatives aux deux vecteurs d'ondes (K1,K2). On commence par donner le développement asymptotique formel des vagues périodiques solutions en puissances de (ε1, ε2) (qui bifurquent au voisinage d'une surface libre plate) et on montre l'apparition d'un problème de petits diviseurs. Afin d'utiliser le théorème des fonctions implicites de Nash-Moser, on doit alors inverser la différentielle du système au voisinage de l'origine, ce qui correspond à inverser un opérateur différentiel du second ordre. On a besoin ici des opérateurs pseudo-différentiels introduits dans le cours de G.Lebeau. On montrera comment obtenir un certain difféomorphisme du tore, dont le nombre de rotation satisfait une condition diophantienne, et qui permet de simplifier suffisamment l'opérateur différentiel précédent. On développe ensuite une méthode de "Descente" (ou moyennisation subtile baséee sur l'utilisation des pseudo-differentiels) qui met l'opérateur différentiel sous forme "normale", de type Fredholm, permettant de l'inverser, moyennant un bon choix des paramètres. On montre alors (par Nash-Moser) l'existence de solutions correspondant aux développements asymptotiques précédents, pour les valeurs de ((ε1)², (ε2)²) dans un ensemble (de Lebesgue) du quart de plan, de mesure asymptotiquement pleine en 0.



*Gilles Lebeau (IUF-Nice) 3h


Introduction aux calculs pseudo et para-differentiels.


Résumé :

-Decomposition de Littlewood Paley, caracterisation des H^s et des C^\rho,

lemme des multiplicateurs de Meyer.

-Calcul pseudo, exemple: operateurs d'integrales singulieres et Dirichlet-Neumann,

ecriture d'un pseudo par formule integrale de type Fourier,

ecriture d'un pseudo dans le cas periodique (et caracterisation des pseudos par

les proprietes de leur matrice dans la base des exponentielles).

3. Calcul para-differentiels, exemples simples en mecanique des fluides.



*Laurent Stolovitch (CNRS-Nice) 3h


Formes normales de singularités dégénérées de champs de vecteurs


Nous présenterons une nouvelle étude des germes de champs de vecteurs holomorphes au voisinage d'un point singulier en dimension quelconque. Nous considérons des germes qui sont des perturbations de champs de vecteurs quasi-homogènes. Nous définirons une notion de forme normale de la perturbation relativement à sa partie initiale. Nous définirons ensuite une condition de type "petits diviseurs diophantiens" associé à la partie initiale. Nous montrerons que si la perturbation est formellement conjugué à la partie initiale alors elle le sera aussi holomorphiquement. Nous montrerons comment obtenir l'existence de germes d'ensembles analytiques invariants pour la perturbation. Même si la divergence des séries normalisantes est la règle, nous montrerons qu'il existe toujours une transformation formelle Gevrey vers une forme normale formelle.



Exposés


*J.Y.Chemin (1h)


"Une introduction au problème des grandes solutions globales régulières à l'équation de Navier-Stokes incompressible tridimensionnelle"


Nous commencerons par rappeler les résultats classiques sur l'existence globale à temps petite et donnerons plusieurs notions de "grandes" données. Ensuite, nous rapellerons un résultat de stabilité globale qui entraîne que l'ensemble des données initiales générant des solutions globales est un ouvert dans des espaces de Banach adaptés. Enfin, nous montrerons comment l'on peut perburber n'importe qu'elle donnée initiale générant une solution globale régulière par une famille de champ de vecteurs    arbitrairement grands (mais variant très peu dans une direction) de manière à rester dans l'ensemble  des données initiales générant une solution globale régulière.


*Dario Bambusi (1h)


On dispersion of small energy solutions of the nonlinear Klein Gordon equation

with a potential


We study small amplitude solutions of nonlinear Klein Gordon equations with a potential. Under smoothness and decay assumptions on the potential and a

genericity assumption on the nonlinearity, we prove that all small amplitude

initial data with finite energy give rise to solutions asymptotically free. In the case where the linear system has at most one bound state the result was already proved by Soffer and Weinstein: we obtain here a result valid in the case of an arbitrary number of possibly degenerate bound states. The proof is based on a combination of Birkhoff normal form techniques and dispersive estimates.


*Massimiliano Berti (1h)


Periodic and quasi-periodic solutions for Hamiltonian PDEs in higher dimension


We shall present new existence results of periodic and quasi-periodic solutions for nonlinear Schrodinger and wave equations defined on 

d-dimensional tori (d > 1),  compact Zoll manifolds, Lie groups and homogeneous spaces. The nonlinearities are merely differentiable functions and, consequently, we get the existence  

of solutions with only Sobolev regularity. The proofs are based on an abstract Nash-Moser implicit function and new methods yielding to interpolation tame estimates for the inverse

linearized operators.



*Jean Marc Delort (1h)


Solutions périodiques d'équations de Schrödinger non-linéaires : une approche para-différentielle.


Le but de l'exposé est de présenter une démonstration de l'existence de solutions périodiques de l'équation de Schrödinger non-linéaire sur le tore, pour un grand ensemble de fréquences, qui ne fait pas appel aux méthodes de type Nash-Moser. Au lieu de cela, on réduit, par conjugaison para-différentielle, le problème à un  système d'une infinité d'équations de dimension finie, couplées entre elles par un opérateur de reste. Une solution de ce système peut alors être construite par la méthode itérative classique.