Informations utiles
Le cours commence le mercredi 9 septembre, 13h15-15h15, Amphi M (Henri Poincare).
Les TDs commencent la semaine du 12 septembre, voir emploi du temps
Notions du cours
9 septembre
LES INTEGRALES
I) Integrale indefinie : primitive d'une fonction continue, integrale indefinie definie a une constante pres, on peut fixe la constante si condition initiale, exemples de primitives.
l'integrale indefinie est additive, multiplication par un nombre reel.
changement de variable, integration par partie.
II) Integrale definie : Limite d'une somme finie d'aire (signee) de rectangles. Calcul via une primitive. Calcul approche. Proprietes.
16 septembre
III) Integrale impropre : Motivations, definitions, test de convergences par comparaison, exemples (Riemann, Gauss).
Une petite incursion dans le monde des equations differentielles lineaires.
23 septembre
QUELQUES RAPPELS D'ALGEBRE LINEAIRE
Systemes lineaires, matrices, operations algebriques sur les matrices, elimination de Gausse-Jordan, determinants.
30 septembre
Resolution du l'equation de second degre sur les reels, sur les complexes.
RESOLUTION POLYNOMIALE
Racines d'un polynome, multiplicite d'une racine, factorisation d'un polynome reel, facorisation d'un polynome complexe.
REDUCTION DES MATRICES
Motivations, calcul des puissances d'une matrice, exemple d'une matrice carree de taille 2 diagonalisable, il existe des matrices carrees de taille 2 non diagonalisables : preuve et exemple.
7 octobre
vecteur propre d'une matrice, valeur propre, polynome caracteristique, sous-espaces propres, exemples 3x3 (avec 3 valeurs propres simples, 1 simple et une double avec sous-espace propre qui est un plan, 1 simple et une double avec sous-espace propre qui est une droite).
Une matrice reelle peut ne pas avoir des valeurs propres reelles.
Definition d'une matrice diagonalisable. Les colonnes de la matrice P sont forcement des vecteurs propres et les coefficients de la matrice diagonale sont forcement les valeurs propres.
14 octobre
Cor (A de taille n est diagonalisable ssi il existe une base de R^n formee de vecteurs propres de A).
Prop (La reunion des bases des sous-espaces propres est une famille libre).
Cor (Si toutes les valeurs propres de A sont simples, alors A diagonalisable).
Prop (la dimension de chaque espace propre est au plus la multiplicite de la valeur propre correspondante).
Application lineaire, matrice d'une applicatin lineaire dans 2 bases, matrice de passage d'une base a une autre, lien entre la matrice d'une application lineaire dans une base et la matrice de cette application dans une autre base.
Th (A diagonalisable ssi chaque espace propre est de dimension la multiplicite de la valeur propre correspondante).
21 octobre
Theoreme de Cayley-Hamilton.
Applications de la diagonalisation : suites recurrentes d'ordre 2, 3, .. (suite de Fibonacci), systemes de suites, processus de Markov, systemes differentiels.
Trigonalisation.
16 novembre
MATRICES SYMETRIQUES ET FORMES QUADRATIQUES
vecteurs orthogonaux, base othogonale, base orthonormee, matrice orthogonale, expression d'un vecteur dans une base orthogonale, algorithme de Gram-schmidt.
Thm (Si A est une matrice symetrique, alors
1) toutes ses valeurs propres sont reelles,
2) les sous-espaces propres sont orthogonaux,
3) A est forcement diagonalisable. De plus, on peut choisir la base des vecteurs propres pour que la matrice qu'ils forment soit orthogonale).
23 novembre
Formes quadratiques, toujours definies par des matrices symetriques, extrema locaux d'une fonctions a plusieurs variables, signe de la forme quadratique, interpretation en termes des signes des valeurs propres.
Feuilles des TDs
TD 1
TD 2
TD 3
Interrogations
TD 4
partiel
TD 5
TD 6
Evaluation
la note finale de ce cours est constiuee de la moyenne de la note du controle continu (60 %) et de la note du controle terminal (40 %).
-- detail de la note du controle continu (60 %) :
1) premiere interrogation d'une heure en TDs (15 %), groupe 2 : lundi 5 octobre, groupe 1 : mardi 6 octobre
2) partiel en cours (30 %), mercredi 4 novembre
3) deuxieme interrogation d'une heure en TDs (15 %), groupe 2 : lundi 23 novembre, groupe 1 : mardi 24 novembre
Toute absence non justifiee a une de ces evaluations sera sanctionnee par une note nulle. En cas d'absence justifiee, il faut imperativement informer votre enseignant et fournir les justificatifs le plus rapidement possible
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