The talk explains how :
* a thick book on mechanics (Varignon 1725),
* a letter by Johann Bernoulli to Varignon (1715),
* Euler's Methodus (1744, on variational calculus),
* and d'Alembert's Dynamique from 1743,
led to the famous Mécanique analytique (1788, 1811) by Lagrange, in which the advantage of the methods of multipliers is demonstrated at many examples and, in the second edition, finally receives its name.
In the second part of the talk we extend the ideas of Euler and Lagrange to the problems of optimal control(Caratéodory, Hestenes, Bellman, Pontryagin).

De nombreux problèmes issus des applications font intervenir des fonctions d'un très grand nombre de variables. On peut citer en particulier les problèmes de théorie de l'apprentissage, les EDP ou modèles numériques dépendant de variables paramétriques ou stochastiques. Il en découle des difficultés numériques, souvent appelées ''plaies des grandes dimensions''. Après avoir introduit les fondements permettant de comprendre ces difficultés, nous montrerons comment elles peuvent être traitées dans le cas des EDP paramétriques/stochastiques, en faisant appel à des notions d'approximation non-linéaire et de parcimonie.

Destiné à un public mélangé (d'analystes, d'algébristes, de probabilistes et de mécaniciens), l'exposé sera agrémenté de nombreuses figures et esquissera simplement les stratégies de preuves.

L'objectif est premièrement de comparer différents nuages de points que l'on peut qualifier d'équidistribués. Deuxièmement, d'étudier les configurations de solutions ponctuelles, dans Cⁿ, d'équations polynômiales de grands degrés.

On commencera par un bref historique du cas n=1 étudié, vers 1950, par P.Erdos, P.Turan et par M. Kac. Puis, on présentera notre généralisation, quand n>1, du théorème d'Erdos-Turan. Elle procède d'une part par tomographie; d'autre part, par analyse des tailles des équations de projections, sur C, des configurations de solutions.

H^1 spaces are a subspace of functions that are integrable in absolute value that come into play when integrability is just not enough. The cut off of negative frequencies in the Fourier transform of a function is an ill behaved operator in L^1. H^1 is the subclass that behaves well under this elementary operation. These spaces play a role in many areas in mathematics. Analysis of course, PDE (solvability defined through maximal functions), probability (martingale convergence) and perhaps many more. We illuminate their appearance in the classical operator theory context through Nehari's theorem and their duality with the space BMO (bounded mean oscillation), which in turn is a somewhat larger class than the bounded functions.

In a setting where we have freedom of dilation in several independent parameters, the situation becomes complicated very quickly. BMO loses its property of mean oscillation and said operator theoretical problem becomes seemingly unsolvable with 'soft' methods. We discuss a line of results in this direction that date between 2000 and 2013.

Les gaz de Coulomb sont des systèmes de particules en interaction mêlant confinement et répulsion. Ils apparaissent naturellement au sein de la théorie des matrices aléatoires. Leur étude asymptotique peut être menée avec des outils d'analyse et de probabilités comme les grandes déviations, et fait apparaître des fonctionnelles convexes qui jouent le rôle d'énergie ou d'entropie. Cet exposé présentera quelques aspects de cet univers, en liaison avec la physique statistique, les matrices aléatoires, et la théorie du potentiel.

Par rapport aux milieux homogènes ou d'indices lentement variables, les milieux périodiques présentent des particularités remarquables en ce qui concerne la propagation des ondes. Les ondes ne peuvent pas se propager à certaines fréquences, la vitesse de groupe peut y être très faible ou même nulle, les effets de dispersion ou diffraction (étalement du faisceau de rayons) sont surprenants, et on peut aussi localiser les ondes au voisinage de défauts de périodicité. Il existe de nombreuses applications technologiques de ces propriétés comme les cristaux photoniques ou les fibres optiques. La théorie de l'homogénéisation permet de comprendre un certain nombre de ces phénomènes, ce que je tenterai d'expliquer.

Les dynamiques cinétiques décrivent le comportement conjoint de position et vitesse, la position étant l'intégrale en temps
de la vitesse, la vitesse étant elle donnée par des dynamiques variées. Pour ces dynamiques de plus en plus utilisées en modélisation, la description du comportement en temps long est une question majeure. Suivant les modèles on peut observer une stabilisation vers l'équilibre plus ou moins rapide (hypocoercivité ou non), ou bien être obligé de regarder des solutions renormalisées en temps-espace pour voir un comportement pertinent. Deux visions complémentaires permettent d'aborder ces questions: une vision macroscopique déterministe, une vision microscopique probabiliste. On essaiera de montrer comment ces deux visions permettent de comprendre ces phénomènes.

Nous connaissons de nombreux exemples de flots conservatifs : flot géodésique, mouvement planétaire, billard,... La première question qu'un dynamicien se pose concerne leur ergodicité : les orbites s'équidistribuent-elles ? Je raconterai un peu l'histoire de ce problème. Je parlerai ensuite de travaux récents, initiés par C. Pugh et M. Shub, donnant des mécanismes pour l'ergodicité qui sont stables par perturbation du système.