MIAS I, deuxième semestre

• Calculer la direction du sous-espace affine $E$ donné par générateurs.
• La direction du sea engendré par $(e₀, ...,e_r )$ est le sev engendré par $(e₁ - e₀, ...,e_r - e₀)$.
• La direction du sea d'équations (normalisées, compatibles) $E₁ = a₁, ..., E_r = a_r$ est le sev d'équations (homogènes) $E₁ = 0, ..., E_r = 0$.
• Calculer la dimension du sous-espace affine $E$.
  • Calculer le sev associé et retourner sa dimension.
• Donner un repère affine du sous-espace affine $E$ donné par générateurs.
• Choisir $s$ générateurs $e₀, ...,e_s $ tels que $(e₁ - e₀, ...,e_s - e₀)$ soit une base de la direction de $E$.
• Donner un repère affine du sous-espace affine $E$ donné par équations.
• Résoudre le système et retourner les solutions obtenues en prenant les inconnues secondaires aux sommets du simplexe standard.
• Donner un système d'équations du sous-espace affine $E$ donné par générateurs.
• Ecrire et résoudre le système homogène vérifié par les coefficients inconnus des équations linéaires satisfaites par les générateurs et retourner les équations linéaires correspondant à une base de solutions.
• Calculer les coordonnées barycentriques de $(x,y)$ dans le repère affine $((x₀,y₀), ..., (x₂,y₂))$ de $R²$.
  • Calculer et retourner les coordonnées ordinaires de $(x, y, 1)$ dans la base $((x₀,y₀, 1), ..., (x₂,y₂, 1))$ de $R³$.
• Calculer les coordonnées barycentriques de $(x,y,z)$ dans le repère affine $((x₀,y₀,z₀), ..., (x₃,y₃,z₃))$ de $R³$.
  • Calculer et retourner les coordonnées ordinaires de $(x, y, z, 1)$ dans la base $((x₀,y₀,z₀, 1), ..., (x₃,y₃,z₃, 1))$ de $R⁴$.

• Discuter l'existence et l'unicité d'une application affine $f$ vérifiant $f(e_i)= v_i$.
  • Il y a unicité ssi le système des $e_i$ est affinement générateur (contient un repère affine).
  • Il y a existence dès que les $e_i$ forment un système affinement libre (fait partie d'un repère affine).
  • Sinon, cas où le dernier vecteur $e_r$ est barycentre des précédents ($e_r= b₀e₀+ ...+ b_r-1e_r-1$, avec $b₀+ ...+b_r-1=1$): il existe $f$ vérifiant $f(e₀)= v₀, ..., f(e_r)= v_r$ ssi
    • $v_r= b₀v₀+ ...+ b_r-1v_r-1$ et
    • il existe $f$ vérifiant $f(e₀)= v₀, ..., f(e_r-1)= v_r-1$.