MIAS I, deuxième semestre

• Montrer que $P$ admet/n'admet pas une borne supérieure/inférieure.
• Montrer que $M$ est la borne supérieure de $P$.
• Calculer la borne supérieure/inférieure de $P$; cas de $P=Im f$.

• Reconnaître que la suite d'intervalles ouverts/fermés $(a_n, b_n)$ est emboitée.
  • Montrer que $a_n$ est croissante et $b_n$ décroissante (au sens large).
• Et calculer son intersection.
  • Calculer $a:=lim a_n$, calculer $b:=lim b_n$.
  • dans le cas des fermés: renvoyer $[a,b]$ avec le commentaire: "d'après la formule d'intersection des suites d'intervalles fermés emboités".
  • dans le cas des ouverts:
    • déterminer si $a_n$ atteint $a$.
    • déterminer si $b_n$ atteint $b$.
    • renvoyer l'intervalle $[a,b]$ privé de ses bornes atteintes.
• Calculer la limite d'une suite comportant une partie entière.
  • Utiliser: "on sait que $[x]/x$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers l'infini".