MIAS I, 7/3

• Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $Rⁿ$.
  • Mettre $H$ sous la forme $Ker f$ avec $f$ linéaire ("on sait que le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel").
  • Mettre $H$ sous la forme $Im f$ avec $f$ linéaire ("on sait que l'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel").
  • Montrer que $H$ respecte les trois constructions ($0$, $+$, $.$):
    • $0$ est dans $H$.
    • pour tous $v$ et $w$ de $H$, $v+w$ est dans $H$.
    • pour tout $v$ de $H$ et pour tout nombre $x$, $x.v$ est dans $H$.
• Montrer que $H$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $Rⁿ$. Trois méthodes:
  • $0$ n'est pas dans $H$.
  • Exhiber $v$ et $w$ de $H$ avec $v+w$ hors de $H$.
  • Exhiber $v$ dans $H$ et $x$ scalaire avec $x.v$ hors de $H$.
• Calculer le sous-espace vectoriel $H$ de $Rⁿ$.
  • si $H$ est sous la forme $Ker f$: calculer une base de solutions de $f(v)=0$.
  • si $H$ est sous la forme $Im f$: calculer une base d'équations vérifiées par $f(e₁), ..., f(e_n)$.
• Montrer que le sous-espace vectoriel $H$ de $Rⁿ$ est contenu dans le sous-espace vectoriel $H'$ de $Rⁿ$. Trois méthodes selon le codage de $H$ et $H'$:
  • Montrer que le système d'équations de $H$ implique chacune des équations de $H'$.
  • Montrer que chacun des générateurs de $H$ vérifie les équations de $H'$.
  • Montrer que chacun des générateurs de $H$ est combinaison linéaire des générateurs de $H'$.
• Montrer que les sous-espaces vectoriels $H$ et $H'$ de $Rⁿ$ sont égaux.
  • Montrer la double inclusion; ou alors:
  • Montrer que $H$ est contenu dans $H'$ et montrer $dim H =dim H'$.
• Montrer que $E$ est la somme directe de $H$ et $D$. Une seule méthode:
  • Montrer $dim E = dim H + dim D$; et puis:
  • Montrer que l'intersection de $H$ et $D$ est ("réduite à") ${0}$.
• Calculer la projection de $v$ sur $H$ parallèlement à $D$.
  • Calculer (et retourner) l'intersection de $H$ avec le sous-espace affine parallèle à $D$ passant par $v$ (voir geoaff de tc).