Soit un ouvert borné régulier de (ou ). On considère une équation aux dérivées partielles définie sur , que l'on peut représenter sous forme variationnelle:
Considérons maintenant une perturbation du domaine, par exemple représentée par l'insertion d'une fissure de petite taille , où représente le point d'insertion de la fissure, est une fissure plane de normale unitaire contenant l'origine du domaine. Enfin représente la taille de la perturbation, qui sera supposée petite. En notant le domaine ainsi perturbé, nous pouvons alors chercher la solution de l'EDP sur ce nouveau domaine:
La fonction coût peut alors être réécrite comme une fonction de uniquement, en considérant la carte suivante:
(2.3) |
La théorie de l'analyse asymptotique topologique donne alors un développement asymptotique de la fonctionnelle lorsque tend vers 0 :
La minimisation du critère consiste alors à perturber le domaine aux endroits où le gradient topologique est le plus négatif, en s'appuyant sur le développement asymptotique (2.4).