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Résultat principal

Dans la suite des travaux, nous nous appuierons sur le résultat suivant [9]:

Théorème 2.1   S'il existe une forme linéaire $ L_\rho$ définie sur $ \mathcal{V}_\rho$ , une fonction $ f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ , et $ 4$ nombres réels $ \delta J_1$ , $ \delta J_2$ , $ \delta a$ et $ \delta l$ tels que
$ \bullet$
$ \displaystyle \lim_{\rho\to 0} f(\rho) = 0$ ,
$ \bullet$
$ J(\Omega_\rho,u_\rho) - J(\Omega_\rho,u_0) = L_\rho(u_\rho-u_0)+f(\rho)\delta J_1+o(f(\rho)),$
$ \bullet$
$ J(\Omega_\rho,u_0) - J(\Omega,u_0) = f(\rho)\delta J_2+o(f(\rho)),$
$ \bullet$
$ (a_\rho-a_0)(u_0,p_\rho) = f(\rho)\delta a + o(f(\rho)),$
$ \bullet$
$ (l_\rho-l_0)(p_\rho) = f(\rho)\delta l + o(f(\rho))$ ,
où $ p_\rho$ est l'état adjoint, solution de

$\displaystyle a_\rho(w,p_\rho)=-L_\rho(w),\forall w\in\mathcal{V}_\rho,$ (2.5)

et $ u_\rho$ est solution de (2.2), alors la fonction coût $ j$ admet le développement asymptotique (2.4), où le gradient topologique est défini par

$\displaystyle G(x) = \delta J_1 + \delta J_2 + \delta a - \delta l.$ (2.6)


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