Formulation variationnelle

suivant: Gradient topologique monter: Restauration précédent: Restauration Table des matières

Formulation variationnelle

Soit $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ un ouvert borné, et soit $v\in L^2(\Omega)$ l'image bruitée. Le débruitage d'une image passe généralement par la résolution du problème suivant:

$\displaystyle \textrm{trouver } u\in H^1(\Omega) \textrm{ telle que } \left\{ \... ... dans & \Omega, \partial_n u = 0 & sur & \partial \Omega, \end{array} \right.$

(2.21)

où

représente la normale unitaire extérieure à $\partial\Omega$ , et

est la conductivité, que nous allons définir par la suite. Différents choix de conductivité sont possibles, essentiellement

constant (méthode de diffusion linéaire, rapide mais qui rend l'image floue), et

défini par une fonction non linéaire de $\nabla u$ (diffusion non linéaire, qui préserve les contours [115,14]). Dans notre approche,

ne prendra que 2 valeurs, soit une valeur de l'ordre de

en dehors des contours de l'image afin de lisser l'image, soit 0 sur les contours afin de les préserver.

Imposer sur une partie de l'image revient à perturber le domaine en insérant des fissures. Pour un point $x_0\in\Omega$ fixé, et pour un paramètre $\rho>0$ supposé petit, on considère le domaine perturbé $\Omega_\rho = \Omega\backslash {\sigma_\rho}$ par l'insertion d'une fissure $\sigma_\rho = x_0+\rho \sigma(n)$ , où $\sigma(n)$ est une fissure de normale unitaire contenant l'origine du domaine. Le problème perturbé peut s'écrire sous la forme variationnelle suivante:

$\displaystyle \textrm{trouver } u_\rho\in H^1(\Omega_\rho) \textrm{ telle que } a_\rho(u_\rho,w) = l_\rho(w), \forall w\in H^1(\Omega_\rho),$

(2.22)

où $a_\rho$ (resp. $l_\rho$ ) est une forme bilinéaire (resp. linéaire) définie sur $H^1(\Omega_\rho)$ (resp. $L^2(\Omega_\rho)$ ) par

$\displaystyle a_\rho(u,w) = \int_{\Omega_\rho} (c\nabla u\nabla w+uw) dx, \qquad l_\rho(w) = \int_{\Omega_\rho} vw dx.$

(2.23)

La détection des contours de l'image revient à minimiser par rapport au domaine la fonctionnelle d'énergie suivante:

$\displaystyle j(\rho)=J(\Omega_\rho,u_\rho) = \int_{\Omega_\rho} \Vert\nabla u_\rho\Vert^2.$

(2.24)

suivant: Gradient topologique monter: Restauration précédent: Restauration Table des matières

Retour à la page principale