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Introduction du problème

Soit $ v$ l'image originale définie sur $ \Omega$ , et soient $ n$ classes (i.e. niveaux de gris, ou couleurs) $ C_i, 1\le i\le n$ , que l'on suppose prédéfinies pour le moment. Le but de la classification est de trouver une partition de $ \Omega$ en sous-ensembles $ \Omega_i$ , recouvrant tout le domaine $ \Omega$ , et tels que $ v$ soit proche de $ C_i$ dans $ \Omega_i$ .

Une approche variationnelle peut être définie à l'aide de la fonction coût suivante:

$\displaystyle J((\Omega_i)_{i=1\dots n}) = \sum_{i=1}^n \int_{\Omega_i} (v(x)-C_i)^2 dx+\alpha \sum_{i\ne j}\vert\Gamma_{ij}\vert,$ (2.36)

où $ \Gamma_{ij}$ représente l'interface entre deux sous-domaines $ \Omega_i\cap\Omega_j$ .

La difficulté majeure de cette approche est que les inconnues sont des ensembles et non des variables, ce qui rend l'approche par analyse asymptotique topologique particulièrement appropriée pour traiter ce problème. Le développement du gradient topologique ainsi que les résultats numériques sont présentés dans [25].


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