L'assimilation de données, en météorologie comme en océanographie, consiste souvent à identifier l'état initial d'un système dynamique à partir d'observations. Le but principal est d'améliorer la connaissance de l'état actuel du système, pour en déduire des prévisions fiables de son évolution future [75,36,107].
Le nudging est une méthode d'assimilation de données basée sur la relaxation dynamique, dans le but d'ajuster le modèle et de le contraindre vers les observations. L'algorithme standard du nudging consiste à ajouter aux équations d'état du système un terme de rappel, proportionnel à la différence entre les observations et la quantité correspondante calculée par la résolution des équations d'état. Le modèle apparaît alors comme une contrainte faible et le terme de rappel force les variables du modèle à coller aux observations. Ce terme de rappel peut être ajusté grâce à un c
fficient (ou une matrice, suivant les cas). Il est généralement choisi de la façon suivante dans les expériences numériques: suffisamment petit pour que le terme de nudging reste faible en comparaison avec les autres termes des équations du modèle, et également assez grand pour contraindre suffisamment le modèle vers les observations. Le terme de nudging peut être vu comme un terme de pénalisation du modèle lorsqu'il s'éloigne trop des données. À noter que la méthode du nudging direct est également appelée observateur de Luenberger dans le domaine de l'automatique et du contrôle [82].
Le nudging est une méthode d'assimilation de données très simple, et nettement plus économique (d'un point de vue de la mise en uvre pratique) que la plupart des autres méthodes, et en particulier des algorithmes variationnels comme le 4D-VAR [78]. Initialement introduit en météorologie [70], le nudging (encore appelé relaxation newtonienne) a ensuite été utilisé avec succès en océanographie sur un modèle quasi-géostrophique [110,112,40], puis appliqué à un système océanographique méso-échelle opérationnel [104]. Les cfficients du nudging peuvent être choisis de façon optimale en utilisant une méthode d'estimation de paramètres par approche variationnelle [103,120]. Les cfficients ainsi obtenus sont optimaux au sens où ils permettent d'obtenir la plus petite différence entre la trajectoire du modèle et les observations. Une comparaison entre le nudging optimal et les méthodes basées sur le filtre de Kalman a été réalisée dans [113]. Le principal inconvénient de ces méthodes de nudging optimal est qu'elles nécessitent la mise en uvre et la résolution des équations du modèle adjoint, ce qui n'est pas utile pour le nudging standard.
Le nudging rétrograde consiste à résoudre les équations d'état du modèle de façon rétrograde en temps, en partant d'une observation de l'état du système à l'instant final. Un terme de rappel, avec un signe opposé à celui introduit dans le nudging direct, est ajouté aux équations du système, et l'état obtenu à l'instant final est en fait un état initial du système [16].
L'algorithme du nudging direct et rétrograde (Back and Forth Nudging, BFN) introduit dans [21] consiste à résoudre d'abord les équations directes du modèle avec le terme de nudging, puis en repartant de l'état final ainsi obtenu, à résoudre les mêmes équations de façon rétrograde avec un terme de rappel opposé à celui du nudging direct. On obtient ainsi à la fin de la résolution rétrograde une première estimation de l'état initial. Ce procédé est alors répété de façon itérative jusqu'à obtenir la convergence de l'état initial.
Cet algorithme peut être comparé au 4D-VAR (algorithme variationnel d'assimilation de données en dimension 3 d'espace et 1 de temps [78]), qui consiste aussi en une succession de résolutions de systèmes directs et rétrogrades. Mais dans l'algorithme BFN, il est inutile, même pour des problèmes non linéaires, de linéariser le modèle comme dans le 4D-VAR, et le système rétrograde n'est pas l'équation adjointe mais le système des équations du modèle avec un terme de rappel qui en fait un problème bien posé.
Nous pouvons citer ici quelques autres algorithmes reposant également sur des résolution directes et rétrogrades. Une approche similaire est étudiée dans [106,105], à la différence principale qu'à chaque instant d'observation, la trajectoire du modèle est remplacée par les observations. Cela correspond à notre algorithme dans le cas particulier de cfficients de nudging infinis et d'un système physique réversible. L'algorithme du quasi-inverse est une autre méthode directe-rétrograde, mais sans rapport avec le nudging [75]. En effet, dans cet algorithme, le signe des termes dissipatifs est changé dans les équations rétrogrades pour des raisons de stabilité. Notre algorithme utilise un terme de relaxation pour stabiliser les équations rétrogrades, et ainsi conserver le bon signe pour les termes dissipatifs.
Au cours de ce chapitre, nous définissons tout d'abord l'algorithme du nudging direct et rétrograde, ou BFN, dans un cadre général. Puis nous présentons des résultats théoriques de convergence dans des cas simplifiés (observations complètes et non bruitées), sur différents types de modèles: modèles linéaires, équations de transport (linéaires ou non, diffusives ou non). Puis nous listons les différentes expériences numériques qui ont été réalisées, et donnons les principales conclusions qui peuvent en être tirées. Enfin, en s'appuyant sur des méthodes développées dans le monde de l'automatique (où le nudging peut être relié à certains observateurs), nous montrons qu'il est notamment possible de corriger les variables du modèle non observées à partir de celles qui le sont, et grâce à celà améliorer les résultats obtenus. Enfin, quelques conclusions et perspectives sont données à la fin de ce chapitre.