Pour simplifier les notations, nous supposons que les équations du modèle ont été discrétisées spatialement, à l'aide d'une méthode aux différences finies, éléments finis ou une méthode spectrale. Nous considérons ainsi un modèle continu en temps et régi par des équations dynamiques du type
. Dans cette équation, 
représente l'ensemble des opérateurs différentiels spatiaux et autres termes (linéaires ou non linéaires) du modèle.
Soit 
l'opérateur d'observation, permettant de relier les observations du système
aux quantités correspondantes 
calculées à partir des trajectoires 
du modèle. Dans la pratique, l'opérateur d'observation
modélise essentiellement deux phénomènes. D'une part, les observations ne sont pas faites exactement sur les points de grille du modèle numérique, et il faut donc interpoler entre les points du maillage. D'autre part, les observations ne correspondent pas forcément aux variables du modèle, mais à une autre quantité physique pouvant s'y relier. Par exemple, les satellites mesurent des radiances, qui peuvent être reliées aux variables du modèle comme la température ou la hauteur d'eau. Sauf mention contraire, nous ne supposons pas dans cette étude que
est un opérateur linéaire.
Le nudging standard appliqué à l'équation (3.1) donne le modèle suivant:
représente la matrice (ou éventuellement un c
fficient) de nudging, ou gain. Le modèle devient ainsi une contrainte faible, puisqu'il n'est plus satisfait exactement. Le terme de nudging a pour but de forcer le modèle vers les observations. Dans un cadre linéaire, c'est exactement l'observateur de Luenberger, ou observateur asymptotique, dans lequel la matrice
de nudging peut être choisie de sorte que l'erreur tende vers 0
en temps infini [82]. Mais dans les applications géophysiques, nous ne pouvons pas toujours considérer un temps suffisamment long pour que le nudging standard donne de bons résultats.
