Nous avons enfin considéré un modèle quasi-géotrophique barocline à plusieurs couches [71,111,40]. Ce modèle dérive des équations primitives (lois de conservation de la masse, du moment, de la température et de la salinité), en effectuant plusieurs simplifications. Premièrement, ce modèle suppose que les effets inertiels sont négligeables devant la rotation terrestre (force de Coriolis). Le nombre de Rossby, rapport entre les échelles temporelles caractéristiques de ces deux phénomènes, est donc négligeable devant 
. La quasi-géostrophie suppose également que l'océan est de petite taille par rapport à la Terre, avec un rapport de l'ordre du nombre de Rossby. Ce modèle suppose aussi que l'épaisseur (ou profondeur) de l'océan est faible devant sa largeur. Toutes ces hypothèses ne sont bien évidemment pas valides dans le cas de l'océan Atlantique nord, par exemple, mais il a été prouvé que ces équations permettaient néanmoins de très bien modéliser la plupart des phénomènes physiques qui apparaissent aux latitudes moyennes (par exemple le Gulf stream).
Ce modèle suppose que l'océan est découpé en plusieurs niveaux verticaux, où la densité du fluide est constante. Les équations proviennent de la conservation de la vorticité, et s'écrivent:
);
);
![$ \Omega \times ]0,T[$](img283.png){kind=small}
, pour la couche du fond (
).
représente le bassin de circulation, 
est la fonction de courant dans le niveau 
, 
est la somme des vorticités dynamique et thermique, 
est la force de Coriolis, les termes diffusifs correspondent à la dissipation par frottement latéral et au fond du domaine. Enfin 
représente l'unique terme source du modèle, provenant du forçage par le vent en surface.
Nous renvoyons à [71,111,40] pour plus de détails sur les équations, et à [22] pour les résultats de simulations numériques sur ce modèle (convergence et comparaison du BFN avec le 4D-VAR, études de sensibilité par rapport à différentes perturbations).
![$\displaystyle \frac{D_1\left( \theta_1(\Psi)+f \right)}{Dt}+A_4 \nabla^6\Psi_1=F_1 \quad \textrm{dans } \Omega \times ]0,T[,$](img278.png)
![$\displaystyle \frac{D_k\left( \theta_k(\Psi)+f \right)}{Dt}+A_4 \nabla^6\Psi_k=0 \quad \textrm{dans } \Omega \times ]0,T[,$](img280.png)
