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Modèle ``shallow water'' (ou équations de Saint-Venant)

Le modèle shallow water (ou équations de Saint-Venant) est généralement utilisé en océanographie, en hydrologie et en mécanique des fluides. Il décrit l'évolution d'un fluide bi-dimensionnel à l'aide de 3 équations. Ces équations proviennent d'une intégration verticale des champs tri-dimensionnels, dans le cadre de l'approximation hydrostatique (i.e. en négligeant l'accélération verticale). Plusieurs variantes de ce modèle existent, et nous nous limitons à la formulation suivante qui fait intervenir la hauteur du fluide:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \partial_t u - (f+\zeta)v+... ... [0.3cm] \partial_t h+\partial_x(hu)+\partial_y(hv) = 0, \end{array} \right.$ (3.15)

où $ \zeta=\partial_x v-\partial_y u$ est la vorticité relative, $ \displaystyle B = g^\ast h+\frac{1}{2}(u^2+v^2)$ est le potentiel de Bernoulli, $ g^\ast$ est la gravité réduite, $ f$ la force de Coriolis, $ \rho_0$ la densité du fluide, $ r$ le c\oefficient de friction latérale, et $ \nu$ la viscosité. Les trois variables sont $ (u,v,h)$ , respectivement les deux composantes longitudinale et transversale de la vitesse horizontale, et la hauteur d'eau. Enfin, $ \tau$ représente le terme de couplage du modèle, représentant un forçage par le vent.

De plus amples détails sur ce modèle sont disponibles dans [39]. Les résultats de nombreuses expériences numériques sur ce modèle sont regroupés dans [18]. Outre des études de convergence et de sensibilité, une hybridation avec la méthode variationnelle a également été étudiée.

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