Développements par rapport à

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Développements par rapport à $\mathbf{\varepsilon}$

Une fois ces approximations faites, il ne reste plus qu'à développer les équations par rapport à $\varepsilon$ ([40]). Le développement à l'ordre 0 conduit à des relations entre la force de Coriolis et le gradient de pression horizontal, exprimant l'équilibre géostrophique.

Nous allons considérer dans la suite un modèle simplifié d'océan :

le bassin est supposé fermé et de profondeur constante,
la circulation est induite par la seule tension du vent à la surface de la mer,
la dissipation est principalement due aux frottements sur le fond du bassin, mais se fait aussi par frottement latéral,
et enfin, le fluide est supposé homogène ( $\rho$ constant) : c'est la modélisation barotrope.

En posant $\beta=\displaystyle\frac{\beta_0L^2}{U}$ le paramètre du $\beta$ -plan, $\delta_f=\displaystyle \frac{\eta}{\beta_0L}$ et $\delta_i=\displaystyle \frac{1}{\beta^{\frac{1}{2}}}$ , le développement à l'ordre

donne alors :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial \xi}{\parti... ...uad \textrm{sur } \partial \Omega [0.3cm] \xi(t=0)=\xi_0 \end{array} \right.$

(4.25)

où $\psi$ est la fonction de courant géostrophique, directement reliée à la pression,

l'intensité du vent, et $\eta$ le c $\oe$ fficient de frottement de fond.

est l'opérateur jacobien : $J(a,b) = \displaystyle \frac{\partial a}{\partial x}\frac{\partial b}{\partial y} -\frac{\partial a}{\partial y}\frac{\partial b}{\partial x}$ . Enfin, on note $\xi=\Delta\psi$ la vorticité. Les deux paramètres sans dimension $\delta_f$ et $\delta_i$ caractérisent la largeur du courant de bord ouest du bassin. L'épaisseur de ce courant sur le bord est contrôlé par la dissipation par frottement de fond ( $\delta_f$ ) et par l'inertie ( $\delta_i$ ). Le terme $\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial x}$ correspond à la force de Coriolis. Enfin, la vitesse horizontale $\begin{displaymath}\displaystyle \left( \begin{array}{c} u v \end{array} \right)\end{displaymath}$ se déduit de la fonction de courant :

$\displaystyle u=-\frac{\partial \psi}{\partial y} \quad \textrm{et} \quad v=\frac{\partial \psi}{\partial x}.$

(4.26)

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