1. (10sept) Introduction. Document projeté, Probabilité dans les sujets de Bac S et ES en 2014, Cf site de l'AMEP
Deux problèmes de calculs par conditionnement : le problème des trois portes, le problème des deux enveloppes. (Le cours reviendra sur ces deux exemples)
2. (17sept) Population, caractères, Fréquence d'une caractéristique, fréquences conditionnelles en statistique descriptive, interprétation probabiliste d'une fréquence (on tire un individu au hasard), modèle combinatoire (S ensemble fini avec proba uniforme, X:S→Ω variable ou caractère, mesure de proba sur Ω induite par X), exemple : lancé de deux dés dont on observe la somme.
3. (24sept) Deux éléments dans un exercice de probabilité : d'abord la modélisation qui suit une description plus ou moins précise de l'expérience, puis le "Calcul des probabilités" pour répondre aux questions posées.
Modèle (Ω,P) combinatoire (P est uniforme) ou pas. Modèle issue d'une expérience qu'il convient d'expliciter, ex : paradoxe des deux enfants associés à plusieurs expériences et plusieurs modèles. Processus fini : on tire i₁ dans S₁ puis indépendamment i₂ dans S₂ puis... ↔ on tire (i₁,i₂,...) dans S₁xS₂x... (proba uniforme) . On tire i dans S puis j dans T_i (T_i dépend du choix de i) puis... → arbre de probabilité, les probabilités conditionnelles à chaque étapes sont uniformes mais la proba en résultant ne l'est pas forcément. Ex. tirages sans remise avec ordre (arrangements), tirages sans remise sans ordre (combinaisons), un pb de tirage et de remise dans deux urnes.
4. (1oct) Liaison/indépendance entre deux évts, slogan du type "F rend E 1.2 fois plus probable" ou "F augmente les chances de E de 20%" ; Indépendance entre n évts. Modèles discrets (Ω,P) : axiome sur P lorsque Ω est infini, on a P(A)=Σ_ω∈AP(ω) pour tout évts A. Ex : lancés de dés jusqu'à obtenir 6, modélisation de l'expérience.
5. (7oct) Retour sur le lancé de dés jusqu'à obtenir 6, probabilité de la réunion d'une suite (A_n) d'évènements disjoints. Récréation : problème des 100 prisonniers (indépendance ou pas des expériences successives). Loi d'une variable aléatoire discrète, (P(X=x))_x∈X(Ω), fonction de répartition F_X(t)=P(X≤t), ex nbre de lancés de dé jusqu'à obtenir 6, somme des valeurs affichées par deux dés. Loi de Bernouille X~B(p) (succès de l'expérience ou occurence d'un évt A), loi binomiale X~B(n,p) (ex nbre de succès ou d'occurences d'un évt lors de n répétitions d'une expérience).
6. (14oct) Indépendance de n variables aléatoires, ex. lancé de deux dés, liaison entre X et 7-X, entre X et X+Y où X,Y indiquent le résultat de chacun des lancés, loi de X+Y, ex. issue pour chaque prisonnier dans le problème des 100 prisonniers. Loi uniforme sur un ensemble fini S (notation X~U(S)), loi de Poisson (X~P(λ)). Distribution f_X d'une va discrète X, représentation graphique. Statistiques descriptives : résumé d'un caractère quantitatif X : valeur centrale (moyenne, médiane, mode), mesure de la dispersion (écart type, intervalle inter-quartile, ?). Analogues pour une variable aléatoire discrète sur (Ω,P) : espérance E(X) (somme indexée par Ω ou par X(Ω)), variance, écrt type.
Document projeté : distribution de la loi binomiale, calcul sur cloud.sagemath.com, commentaires : mode et espérance de la loi binomiale B(n,p) ; la loi P(λ) est limite de la loi B(n,λ/n) quand n tend vers ∞.
7. (21oct - 1h) Expression formelle et calcul (formule du binôme et ses dérivées successives) de E(X), E(X²) pour X de loi B(p), B(n,p), U({1,...,n}).
7bis (22oct - 1h25) partiel 1.
8. (4 nov) Ptés de E(X) : calcul par conditionnement, application à E(f(X)) en conditionnant suivant les valeurs prises par X, linéarité, E(XY), cas où X,Y sont indépendantes, application au calcul de l'espérance et de la variance du nbre de succès lors de la répétition n fois d'une expérience ; encadrement par l'étendue de X, inégalité de Markov, de Tchébytchev, application à la fréquence observée des succès lors de la répétition n fois d'une expérience.
9. (18nov) Fonction de répartition F d'une variable aléatoire, caractérisation (croissante, continue à droite, limite en ±∞), cas d'une v.a. discrète : calcul de P(X=x), cas d'une v.a. continue (à densité) : caratérisation (F est continue, dérivable de dérivée continue par morceaux), approximation discrète d'une va continue (histogramme), espérance E(X), E(g(X)), lois classiques : uniforme, exponentielle (cf processus de Poisson), normale ou gaussienne (TCL)
10. (25nov - 1h15) partiel 2.
10bis. (2dec)  Simulation d'une loi par la notion de quantile et la loi uniforme sur [0,1], cas de B(p) (bernouilli) et de ε(λ) (exponentielle), calcul de la médiane, dessins. Espérance et variance de ε(λ), modèle du temps d'attente entre deux évènements, "absence de mémoire", lien entre la somme de va indépendantes de loi ε(λ) et la loi de Poisson, calcul de P(X₁+X₂≤t) avec la densité du couple (X₁,X₂).
En projet : vecteur gaussien en dimension 2.