LABORATOIRE J.A. DIEUDONNE

UMR CNRS-UNS N°7351
Maxime Ingremeau


Domaines de recherche

Toutes mes recherches sont reliées, de près ou de loin aux Equations aux dérivées partielles (EDP), qui sont des équations que peuvent vérifier les fonctions de plusieurs variables, reliant entre elles leurs dérivées. De nombreux phénomènes en physique ou dans les autres sciences peuvent être modélisés à l'aide de ces équations. Les questions sur lesquelles je travaille concernent principalement l'équation des ondes et l'équation de Schrödinger (qui est un analogue de l'équation des ondes décrivant l'évolution des objets quantiques). Je m'intéresse le plus souvent aux solutions qui sont périodiques en temps, qui peuvent être décrites par des équations de la forme

Δu + k² u = f.     (1)
Plus précisément, mes thèmes de recherche sont les suivants :

ℏ L'analyse semiclassique est un ensemble de techniques permettant d'étudier des EDP (principalement linéaires) dépendant d'un petit (ou d'un grand) paramètre. Par exemple, l'analyse semiclassique peut être utilisée pour décrire les solutions de l'équation des ondes à haute fréquence (ou les solutions de l'équation de Schrödinger pour des objets massifs ou grands) dans une géométrie donnée : par exemple, l'étude de l'équation (1) quand k → ∞ est typiquement un problème semiclassique. Les propriétés des solutions sont souvent reliées aux propriétés des trajectoires classiques (par exemple, les trajectoires de boules rebondissant dans un billard, les trajectoires de particules suivant les lois de Newton, ou les trajectoires en ligne droite sur une surface).

♥ Le chaos quantique est l'étude de l'équation des ondes ou de l'équation de Schrödinger dans des situations où la dynamique classique sous-jacente est chaotique. Un problème typique en chaos quantique est de décrire les propriétés des fonctions propres du laplacien (c'est-à-dire, les solutions de (1) quand f=0), dans le régime où k est grand, sur des variétés de courbure négative, ou dans des billards à l'intérieur desquels la dynamique est chaotique.
D'autres situations qui peuvent être reliées à des questions de chaos quantique (bien que la dynamique classique y soit moins naturelle) est l'étude des fonctions propres du laplacien sur de grands graphes, ou sur des graphes quantiques.

⏧ Les graphes quantiques : Les exemples les plus simples de graphes quantiques sont les graphes métriques, c'est-à-dire les graphes dont les arêtes ont des longueurs. Sur ces objets unidimensionnels, on peut définir un laplacien (ou plus généralement, des opérateurs de Schrödinger) et étudier les propriétés de ses valeurs propres et fonctions propres. Bien que les graphes quantiques soient des objets très simples, il possèdent des propriétés typiques de chaos quantique.
Je m'intéresse tout particulièrement à la limite des grands graphes, c'est-à-dire à considérer des suites de graphes quantiques de plus en plus grands, et à regarder leurs propriétés spectrales asymptotiques.

∢ La théorie de la diffusion est l'étude de la propagation des ondes dans un milieu non borné. En théorie de la diffusion, l'espace est divisé en une « région d'interaction », bornée, dans laquelle les ondes peuvent rebondir sur des obstacles ou être déviées, et une région « libre », où les ondes partent à l'infini.
Quand on étudie la diffusion à haute fréquence (autrement dit, la diffusion semiclassique), un rôle essentiel est joué par les trajectoires classiques qui restent tout le temps dans la région d'interaction, et ne s'échappent pas à l'infini. Quand ces trajectoires piégées ont une dynamique chaotique, on est en présence d'un problème de chaos quantique ouvert.

En français, l'expression "scattering theory", qui devrait littéralement être traduite par « théorie de la dispersion », est traduite par « théorie de la diffusion », sans doute pour éviter de parler de «dispersion dans les équations dispersives » là où l'anglais dirait "scattering in dispersive equations". Pour éviter la confusion, on préfère parfois parler de « théorie du scattering". En fait, la querelle sur comment on doit dire remonte aux années 60.

∿ Les ondes aléatoires sont des solutions aléatoires de l'équation (1) dans ℝd avec f=0. Une manière naturelle de les construire est de prendre un grand nombre d'ondes planes de même longueur d'onde, ayant des amplitudes, des phases et des directions de propagation différentes. A la limite, on obtient une fonction aléatoire (le champ aléatoire gaussien monochromatique stationnaire isotrope). De nombreux travaux récents traitent des propriétés du lieu d'annulation de cette fonction.
Une motivation importante pour l'étude de ces fonctions aléatoires est la conjecture de Berry, centrale en chaos quantique, qui affirme que les fonctions propres du lapalcien, dans des géométries chaotiques, se comportent comme des ondes aléatoires à la limite semiclassique.

≈ L'analyse numérique: Etant donné une EDP possédant une unique solution, il n'est pas toujours possible d'exprimer cette solution à l'aide d'une formule explicite ; néanmoins, il est souvent possible d'écrire un algorithme qui approchera la solution avec une précision arbitraire. Concevoir de tels algorithmes et étudier leurs propriétés est l'objet de l'analyse numérique.
Je m'intéresse principalement à l'analyse numérique d'équations similaires à (1), lorsque le nombre k devient grand. Comme les solutions oscillent rapidement, les techniques de discretisations usuelles sont peu efficaces, et il faut faire appel à des outils issus de l'analyse semiclassique.

Publications

  1. ℏ♥∢ Distorted plane waves in chaotic scattering, Analysis and PDE, Vol. 10 (2017), No. 4, 765-816.
  2. ℏ♥∢ Distorted plane waves on manifolds of nonpositive curvature, Communications in Mathematical Physics, Mars 2017, Volume 350, Issue 2, pp 845-891
  3. ℏ♥∢ Sharp resolvent bounds and resonance-free regions, Communications in Partial Differential Equations, 2018, vol. 43, no 2, p. 286-291.
  4. ℏ∢ Equidistribution of phase shifts in trapped scattering, Journal of Spectral Theory, Volume 8, Issue 4, 2018, pp. 1199–1220.
  5. ℏ∢ The semi-classical scattering matrix from the point of view of Gaussian states, Methods and Applications of Analysis, Volume 25, 2018, Number 2, pp. 117-132.
  6. ℏ∢ Equidistribution of phase shifts in obstacle scattering (travail en commun avec Jesse Gell-Redman), Communications in Partial Differential Equations, vol. 44, no 1, p. 1-19.
  7. ℏ♥∢∿ Lower bounds for the number of nodal domains for sums of two distorted plane waves in non-positive curvature, Asian Journal of Mathematics, 2020, vol. 24, no 3, p. 417-436.
  8. ∿ A lower bound for the Bogomolny-Schmit constant for random monochromatic plane waves (travail en commun avec Alejandro Rivera), Mathematical Research Letters, Volume 26 (2019), Number 4, pp 1179 – 1186
  9. ♥⏧ Quantum ergodicity for large equilateral quantum graphs (travail en commun avec Mostafa Sabri et Brian Winn), Journal of the London Mathematical Society, 2020, vol. 101, no 1, p. 82-109.
  10. ℏ♥ Local Weak Limits of Laplace Eigenfunctions, Tunisian Journal of Mathematics, 2021, vol. 3, no 3, p. 481-515.
  11. ⏧∿ Absolutely Continuous Spectrum for Quantum Trees , Communications in Mathematical Physics, 2021, vol. 383, no 1, p. 537-594 (travail en commun avec Nalini Anantharaman, Mostafa Sabri et Brian Winn).
  12. ⏧ Empirical spectral measures of quantum graphs in the Benjamini-Schramm limit , Journal of Functional Analysis, 2021, vol. 280, no 12, p. 108988. (travail en commun avec Nalini Anantharaman, Mostafa Sabri et Brian Winn).
  13. ♥⏧ Quantum ergodicity for expanding quantum graphs in the regime of spectral delocalization , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2021, vol. 151, p. 28-98. (travail en commun avec Nalini Anantharaman, Mostafa Sabri et Brian Winn).
  14. ℏ♥∢ Semiclassical limits of distorted plane waves in chaotic scattering without a pressure condition, International Mathematical Research Notices, Vol 16 (2022) pp 12030–12071.
  15. ℏ♥∿ How Lagrangian states evolve into random waves, Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Volume 9 (2022), pp. 177-212. travail en commun avec Alejandro Rivera.
  16. ⏧∢ Scattering resonances of large weakly open quantum graphs , Pure and Applied Analysis, Vol. 4 (2022), No. 1, pp 49–83.
  17. ⏧∢ A trace formula for scattering resonances of unbalanced quantum graphs , North-Western European Journal of Mathematics, Vol 9, pp 77-99.

Prépublications

  1. ≈ ℏ Efficient approximation of high-frequency Helmholtz solutions by Gaussian coherent states (travail en commun avec Théophile Chaumont-Frelet et Victorita Dolean) .
    2. (L'article précédent utilise plusieurs résultats techniques classiques sur les frames de Gabor. Des démonstrations élémentaires de ces résultats sont proposés dans la note auto-contenue Decay of coefficients and approximation rates in Gabor Gaussian frames , écrite avec Théophile Chaumont-Frelet.
  2. ℏ♥∿ Emergence of Gaussian fields in noisy quantum chaotic dynamics (travail en commun avec Martin Vogel) .
  3. ℏ♥∿ Improved L∞ bounds for eigenfunctions under random perturbations in negative curvature (travail en commun avec Martin Vogel) .

Collaborateurs et collaboratrices (passés et présents)

Autres documents scientifiques

  • Un exposé au séminaire Bourbaki, à propos des travaux d'Alexander Logunov's sur la conjecture de Yau. Les notes peuvent être trouvée ici.
  • Mon habilitation à diriger les recherches.
  • Ma thèse de doctorat.
  • Mon mémoire de master 2.