The history of constrained optimization spans nearly three centuries. It goes back to a letter Johann Bernoulli sent in 1715 to Varignon, announcing a very simple rule with which the many hundreds of different problems in fluid and solid mechanics considered in detail by Varignon can be solved in the blink of an eye. Varignon then explains this rule at the end of his book, but unfortunately cites the letter of Johann Bernoulli with an incorrect date. Bernoulli's rule, based on virtual velocities, was later carefully explained by Lagrange, and led to the discovery of the famous multiplier method of Lagrange, with which many optimization problems can be easily treated. Using so called Lagrange multipliers is however a much more far reaching concept, and we will see that one can, armed only with Lagrange multipliers, discover the important primal and dual equations in optimal control and the famous maximum principle of Pontryagin. Pontryagin himself however did not discover his maximum principle using Lagrange multipliers, he used a more geometric argument. We will finally give the complete formulation of PDE constrained optimization based on adjoints introduced by Lions.

Quelle est la densité maximale d'un empilement de sphères de l'espace Euclidien ? Quelle est la valeur du nombre de contacts en dimension n ?
Du nombre chromatique de R^n ? Dans cet exposé, nous expliquerons comment on peut obtenir des réponses (partielles) a ces questions
classiques de géométrie Euclidienne par une combinaison de méthodes d'optimisation convexe et d'analyse de Fourier.
Nous expliquerons les liens qui existent avec des outils bien connus en théorie des graphes: le nombre theta de Lovasz et
les hiérarchies de programmes semi-définis positifs.

Le dénombrement de chemins confinés dans un cône a fait l'objet de nombreux travaux ces dernières années et mené à de beaux résultats, qui font appel à une variété de méthodes attrayante. La question de base (en deux dimensions) est la suivante : on se donne un ensemble de pas autorisés --- mettons Nord-Est, Est, Ouest et Sud-Ouest, c'est-à-dire (1,1), (1,0), (−1,0) et (−1,−1) --- et on considère les chemins issus de (0,0), formés de tels pas, et qui ne sortent jamais du quart de plan positif. Quel est le nombre a(n) de tels chemins formés de n~pas ? Quelle est la série génératrice A(t):=∑ a(n) t^n associée ? Surtout, quelles sont les propriétés de cette série ? Est-elle rationnelle, algébrique, ou plus généralement holonome, c'est-à-dire solution d'une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux ?

On sait maintenant répondre à ces questions pour tous les ensembles de pas «petits», c'est-à-dire variant de 0, +1 ou -1 le long de chaque axe : la série A(t) est holonome si et seulement si un certain groupe, associé à l'ensemble de pas autorisés, est fini. Les méthodes utilisées pour aboutir à cet énoncé net sont variées : de l'algèbre sur les séries formelles, de l'analyse sur les séries holonomes, des probabilités, de l'analyse complexe, et du calcul formel. Je ferai un petit panorama de tout cela, et j'évoquerai des travaux plus récents sur le cas de trois dimensions. Et pour ceux qui se demandent encore ce qu'il en est de l'exemple ci-dessus : A(t) est non seulement holonome mais en fait algébrique, de degré 8, et ça n'est pas facile à prouver.

On considérera différents problèmes inverses pour les équations (EDP) de Laplace et de la conductivité, depuis des données frontières surdéterminées (Dirichlet-Neumann) mais incomplètes, disponibles à la frontière de domaines de dimensions 2 et 3. Il s'agira de déterminer les valeurs manquantes des solutions ou de coefficients de Robin inconnus sur le bord (problèmes de type Cauchy), ou la géométrie d'une partie inconnue de la frontière. Dans le cas de l'EDP de Poisson-Laplace, on cherchera à estimer des singularités (sources, défauts) dans le domaine.

L'approche proposée repose sur les liens classiques dans le plan entre fonctions harmoniques et fonctions holomorphes de la variable complexe (équations de Cauchy-Riemann, conjugaison harmonique, transformée de Hilbert). Il est remarquable que ces liens s'étendent :
- aux situations non homogènes (isotropes) et à l'équation de la conductivité, pour des conductivités régulières,
- aux fonctions harmoniques dans certains domaines de dimension 3, grâce aux transformées de Riesz.

En l'absence de sources ou de défauts, l'analyse des propriétés de solutions des problèmes inverses (unicité, stabilité), comme celle des problèmes directs associés et des schémas de résolution (robustesse), s'effectue dans des espaces de Hardy (Hilbert) de fonctions holomorphes dans le domaine, la norme dans ces espaces portant sur les valeurs au bord des fonctions. Les problèmes inverses depuis des données incomplètes à la frontière s'y formulent en termes de meilleure approximation sous contrainte (pour la régularisation nécéssaire) et donnent lieu à des algorithmes de résolution qui impliquent des opérateurs de Toeplitz. En présence de sources inconnues (problèmes inverses de potentiels), celles-ci ou les singularités qu'elles induisent dans le domaine sont approximées par les pôles de meilleurs approximants rationnels, sur le bord du domaine, ou de sections planes du domaine.

Quelques applications provenant de la physique et des équations de Maxwell en régime quasi-statique seront discutées, en particulier les problèmes inverses de transmission de données et de localisation de sources en imagerie / ingénierie médicale cérébrale (EEG), ainsi que des résultats numériques

Le développement de technologies permettant l'acquisition de données à large échelle, a conduit à une explosion exponentielle du volume de données récoltées à travers le monde. Ces données (pouvant regrouper des milliers de variables) jouent un rôle de plus en plus important dans la plupart des branches d'activités humaines (biologie, physique, économie, web, etc). L'analyse de telles données de grande dimension a stimulé le développement de méthodes statistiques adaptées à ce contexte. Quelles sont les difficultés et quels sont les défis rencontrés en statistique en grande dimension? Nous expliquerons les difficultés fondamentales rencontrées et les approches typiques pour résoudre ces problèmes. Ensuite, nous discuterons de la nécessité de compléter cette approche standard, très "descriptive" par nature, par des approches intégrant de la modélisation de façon beaucoup plus étroite. Cet exposé s'adressera aux non-statisticiens.

Un écoulement fortement turbulent à grand nombre de Reynolds, de part le terme nonlinéaire de couplage, développe des interactions entre modes dont les propriétés sont mesurées par des lois d'échelle. Cependant, avec l'introduction de physique plus complexe comme en la présence de rotation et/ou de stratification, d'autres paramètres sans dimension apparaissent comme le nombre de Rossby et le nombre de Froude qui mesurent respectivement le rapport de la période de l'onde associée au temps de retournement du tourbillon caractéristique de la turbulence, et d'autres équilibres peuvent se développer dû en particulier à l'anisotropie inhérente à de tels systèmes et aux interactions ondes-tourbillons.

Dans ce contexte, je m'intéresserai à l'analyse d'une simulation numérique directe en déclin à haute résolution de turbulence stratifiée en rotation, avec des paramètres inspirés de valeurs caractéristiques de l'Océan profond, sauf pour ce qui est du nombre de Reynolds qui reste trop bas. De larges structures tourbillonnaires fortes se développent, qui rappellent la turbulence bi-dimensionnelle mais qui sont séparées par de forts gradients. A grande échelle, les spectres de l'énergie cinétique et potentielle semblent obéir à une loi postulée (par analyse dimensionnelle) par Bolgiano et par Obukhov dans les années soixante et où l'apport d'énergie dans la cascade est dominé par les fluctuations de densité; à petite échelle, par contre, on semble retrouver la turbulence habituelle alors que l'isotropie réapparaît progressivement.

L'état stationnaire d'un système maintenu loin de l'équilibre ne peut pas être décrit par les lois fondamentales de la thermodynamique et de la physique statistique. En particulier, on ne dispose pas d'un principe général, à l'échelle microscopique, qui permettrait d'étendre la loi de Boltzmann et la notion d'entropie à des processus en évolution.

Toutefois, des progrès remarquables ont été réalisés au cours des deux dernières décennies, dans lesquels la notion probabiliste de grandes déviations joue un rôle clé.

Le but de cet exposé sera de présenter ces concepts, en mettant l'accent sur leur interprétation physique et de les illustrer par des résultats exacts, de type combinatoire, obtenus sur des modèles stochastiques simples de particules en interaction.

Le problème de Cauchy est un problème basique de l'analyse des équations aux dérivées partielles. On doit à J.Hadamard d'avoir formalisé la notion de bien posé en liaison avec des questions de stabilité. L'objectif de l'exposé est de partir de ces considérations pour motiver et étudier différentes notions de symétrisabilité. On présentera d'abord l'exemple élémentaire des systèmes à coefficients qui permet de dégager des points de repère importants. On fera ensuite le lien entre la stabilité "maximale" et la symétrisabilité des systèmes, en remettant au goût du jour une approche de Friedrichs et Lax beaucoup plus invariante.