MIAS I, 14/3

• Calculer le rang du système $e₁, ..., e_n$.
  • Méthode de Gauss. On peut combiner les vecteurs (ce qui change les vecteurs), ou combiner les composantes (ce qui revient à changer de système de coordonnées).
• Montrer que le système $e₁, ..., e_n$ est libre.
  • Calculer le rang du système, et constater que c'est $n$.
• Donner la dimension du sous-espace engendré par les vecteurs $e₁, ..., e_n$.
  • Calculer le rang du système, et retourner ce rang.
• Extraire de $e₁, ..., e_n$ un sous-système libre maximal.
  • Calculer le rang du système par la méthode de Gauss en écartant, avec chaque ligne nulle, le vecteur correspondant, autrement dit en ne gardant que les vecteurs dont une composante sert de pivot.
• Montrer que les fonctions $f₁, ..., f_n$ sont linéairement indépendantes.
  • Trouver des points $x₁, ..., x_n$ tels que les vecteurs $f(x₁), ..., f(x_n)$ soient linéairement indépendantes.
  • (non fait) Trouver un sev contenant $f₁, ..., f_n-1$ et pas $f_n$, puis montrer que les fonctions $f₁, ..., f_n-1$ sont linéairement indépendantes (par la même méthode).
  • Supposer $f_n=a₁f₁ +...+a_n-1f_n-1$ et en déduire une absurdité.
• (non fait) Montrer que les nombres $z₁, ..., z_n$ sont linéairement indépendants.
  • Supposer $z_n=a₁z₁ +...+a_n-1z_n-1$ et en déduire une absurdité.
• Montrer que $v₁, ..., v_n$ sont liés.
  • Trouver une formule $v_n=a₁v₁+...+a_n-1v_n-1$.
• Montrer que $v₁, v₂, v₃$ sont indépendants.
  • Montrer que $v₁, v₂$ sont indépendants puis que $v₃$ n'est pas combinaison linéaire de $v₁, v₂$.
• Montrer que $v₁, ..., v_n$ sont indépendants.
  • Montrer que $v₁,..., v_n-1$ sont indépendants puis que $v_n$ n'est pas combinaison linéaire de $v₁,..., v_n-1$.

• Vérifier que $e₁, ..., e_n$ est une base de $R^p$.
  • Vérifier que $n$ et $p$ sont égaux et que $e₁, ..., e_n$ est libre. .
• Extraire une base du système de générateurs $e₁, ..., e_n$ de $E$.
  • Extraire un sous-système libre maximal de $e₁, ..., e_n$.
• Compléter le système $e₁, ..., e_n$ en une base de $R^p$.
  • Faire Gauss en combinant les vecteurs (et non leurs composantes), en insérant à mesure les vecteurs de base (de $R^p$) compatibles avec la liberté.

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  Andre.HIRSCHOWITZ
  Last modified: Feb 27