MIAS I, deuxième semestre

• Compléter le système $e₁, ..., e_n$ en une base de $E$.
• Faire Gauss en combinant les vecteurs (et non leurs composantes), en insérant à mesure les vecteurs de base compatibles avec la liberté.
• Calculer les coordonnées du vecteur $v$ dans la base $e₁, ..., e_n$ .
• Résoudre le système d'équations linéaires (équivalent à) $v=y₁e₁+...+y_ne_n$ et retourner l'unique solution $(y₁,..., y_n)$.
• Calculer les fonctions coordonnées dans la base $e₁, ..., e_n$ .
• Résoudre le même système en remplaçant $v$ par $(x₁,..., x_n)$ et retourner la fonction qui à $(x₁,..., x_n)$ associe la solution $(y₁,..., y_n)$.

• Trouver des suites $u_n$ vérifiant $u_n+1=f(u_n)$.
• Trouver $J$ avec $f(J)$ contenu dans $J$;  pour tout $a$ de $J$,  "on sait qu'il existe une unique suite vérifiant $u₀=a$ et la relation de récurrence imposée".
• Calculer la limite de $u_n+v_n$, $au_n$, $u_nv_n$, $u_n/v_n$, $f(u_n)$, $u_g(n)$.
• Appliquer les théorèmes sur les limites, par exemple, pour $u_n/v_n$: montrer que  $u_n$ tend vers $L$, montrer que $v_n$ tend vers $M$  différent de $0$, et conclure "par le théorème sur la limite d'un quotient" que $u_n/v_n$ tend vers $L/M$.
• Cas des limites infinies.
• Appliquer les théorèmes sur les limites infinies.
• Démontrer explicitement la convergence d'une suite explicite $u_n$ vers $L$.
• Partir de l'inégalité $I$ à démontrer; simplifier $I$ par équivalence jusqu' à voir $A$ tel que $n>A$ implique $I$; retourner $A$ (qui est une formule avec $epsilon$ dedans).
• Montrer la convergence d'une suite schizo ($u_n$ de la forme $si P(n) alors v_n sinon w_n$).
• Montrer que $u_n$ et $v_n$  tendent vers $L$; conclure "par le  théorème sur la limite des suites schizos" que  $u_n$ tend vers $L$.
• Montrer la divergence d'une suite schizo ($u_n$ de la forme $si P(n) alors v_n sinon w_n$).
• Montrer que  $u_n$ tend vers $L$, montrer que $v_n$ tend vers $M$  différent de $L$, et conclure "par le  théorème sur la limite des suites schizos" que  $u_n$ diverge.
• A suivre.