MIAS I, deuxième semestre

• Minorer asymptotiquement par $a$ une suite tendant vers $L>a$.
• Appliquer la définition avec $epsilon:= L-a$.
• Etudier la convergence des coordonnées d'une suite de points du plan.
• Penser à faire un dessin pour deviner le résultat.
• Montrer que la suite abstraite $u_n$ converge.
• Appliquer les théorèmes sur les limites (addition, ..., composition
• Appliquer les gendarmes.
• Montrer que la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée).
• (cas désespéré) Faire avec epsilon.
• Montrer que la suite abstraite $u_n$ tend vers $0$.
• Montrer que $|u_n|$ tend vers $0$.
• (gendarme isolé) Trouver $v_n$ tendant vers $0$ avec $|u_n|=< v_n$.
• Ecrire $u_n = v_nw_n$ avec $v_n$ tendant vers $0$ et $w_n$ bornée.
• (contraction) Trouver $K < 1$ vérifiant $|u_n+1| =< K u_n$ pour $n$ suffisamment grand.
• Montrer que la suite abstraite $u_n$ tend vers plus l'infini.
• (gendarme isolé) Trouver $v_n$ positive tendant vers l'infini avec $u_n >= v_n$.
• Ecrire $u_n = v_nw_n$ avec $v_n$ positive tendant vers l'infini et $w_n$ minorée par un nombre strictement positif.
• (dilatation) Trouver $K > 1$ vérifiant $u_n+1>= K u_n >0$ pour $n$ suffisamment grand.
• Trouver une suite de rationnels entre deux suites de réels.
• Utiliser la fonction $rat$ donnée en cours, et qui vérifie, pour $x < y$, $x< rat (x,y) < y$ et $rat(x,y)$ est rationnel.
• Prouver l'existence d'une suite (récurrente) vérifiant $u₀=a$ et $u_n+1 = f(u_n )$.
  • Identifier $f$. Trouver $J$ dans le domaine de définition de $f$, contenant $a$ et stable par $f$.
• Prouver la convergence d'une suite récurrente.
• Prouver: pour tout $x$ de $J$, $x =< f(x)$ (et vérifier que $J$ est majoré).
• Prouver: pour tout $x$ de $J$, $x >= f(x)$ (et vérifier que $J$ est minoré).
• Trouver $K < 1$ et prouver: pour tout $x$ de $J$, $|f'(x)| =< K$.
• Trouver la limite d'une suite récurrente convergente.
• Trouver pour $J$ un segment où $f$ est continue et sur lequel $f(L)=L$ n'a qu'une solution: c'est la limite.