MIAS I, deuxième semestre
Résumé: cours du 25/4
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Séries de Taylor.
-
Calculer la limite de $un$.
- Reconnaître une série de Taylor:
$un =f(a) +...+ (b-a)nf (n)(a)/n!$; trouver un
majorant $Mn$ de $|f (n)|$ sur $]a,b[$; montrer que
(b-a)nM n/n!$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini;
retourner $f(b)$.
-
Endacrer $f(b)$.
- Approcher $f(b)$ par
$un =f(a) +...+ (b-a)nf (n)(a)/n!$; trouver un
majorant $Mn$ et un minorant $mn$de $|f (n)|$
sur $]a,b[$; choisir $n$ suffisamment grand pour que l'encadrement
$un-1-(b-a)nmn/n! =< f(b)
=< un-1+(b-a)nmn/n!$ convienne.
(b-a)nM n/n!$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini;
retourner $f(b)$.
-
Endacrer la somme d'une série de Taylor alternée.
- Conclure que $f(b)$ est entre
$ f(a) +...+ (b-a)nf (n)(a)/n!$ et
$ f(a) +...+ (b-a)n+1f (n+1)(a)/(n+1)!$ après avoir
vérifié que le signe de $f (n)(a)$ alterne et que le
module $(b-a)n|f (n)(a)|/n!$ décroît.
Graphes plans.
-
Dessiner les branches infinies du graphe de $f$.
- Faire le TV plus un DL à l'infini.
-
Dessiner le graphe de $f$ en un point banal.
- Faire un DL à l'ordre $2$ (en fait jusqu'au premier terme non
nul après l'ordre $1$).
-
Dessiner le graphe de $f=g/h$ en un point d'indétermination.
- Faire un DL de $g$ et $h$ et en déduire le DL de $f$.
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Andre.HIRSCHOWITZ
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modified: Feb 27