MIAS I, deuxième semestre

• Dessiner les branches infinies d'une courbe RP.
  • Faire le TV. Dessiner les branches infinies "droites" ($x$ ou $y$ tend vers l'infini mais pas les deux). Pour les branches infinies "obliques"($x$ et $y$ tendent tous les deux vers l'infini), calculer la limite $m$ de $y/x$ (direction aysmptotique de pente $m$, puis trouver la limite $n$ de $y-px$ (asymptote d'équation $y=mx+n$) et le signe de $y-mx-n$ (position par rapport à l'asymptote).
• Dessiner une courbe RP au voisinage d'un point.
  • Faire le TV. Se ramener en $0$; distinguer $t < t₀$ et $t > t₀$; calculer la limite $m$ de $y/x$ (tangente de pente $m$), puis trouver le signe de $y-mx$ (position par rapport à la tangente).
• Trouver les points doubles d'une courbe RP.
  • Trouver les solutions $(t,t')$ (non triviales: $t <> t'$) du système de deux équations aux deux inconnues $t$ et $t'$: $x(t)=x(t') et y(t)=y(t')$ (la courbe passe deux fois par $.
• Trouver les points stationnaires d'une courbe RP.
  • Trouver les solutions $t$ du système de deux équations à une inconnue $t$: $x'(t)=y'(t)=0$ (vitesse nulle; "la courbe a un point stationnaire en $(x(t), y(t))$)).
• Trouver les points singuliers d'une courbe RP.
  • Trouver les points doubles et les points stationnaires.

• Calculer le rang d'une matrice.
  • Méthode de Gauss (avec cas s'il y a des paramètres).
• Calculer le rang d'un système de vecteurs de $Rⁿ$.
  • Calculer le rang de sa matrice.
• Calculer le rang d'un système d'équations linéaires.
  • Calculer le rang de sa matrice.
• Décider si un système d'équations linéaires a une solution.
  • Calculer le rang de sa matrice et son rang augmenté; il a une solution si les deux sont égaux.
• Résoudre un système d'équations linéaires.
  • Méthode de Gauss (avec cas s'il y a des paramètres).

• Trouver une base adaptée à $f: E -> F$.
  • Compléter une base $BK$ de $Ker f$ en une base $B$ de $E$; et compléter une base $BI$ de $Im f$ en une base $B'$ de $E$: $B$ et $B'$ sont adaptées à $f$.