MIAS I, deuxième semestre

• Montrer que la suite $u_n$ converge.
• (contraction) Trouver $K < 1$ vérifiant $|u_n+2-u_n+1|=< K | u_n+1 - u_n |$ pour $n$ suffisamment grand.
• Montrer que la suite $u_n$ est de Cauchy.
• Montrer que $u_n$ converge.

• Montrer que $f$ est bornée et atteint ses bornes sur $I$.
  • Montrer que $I$ est un intervalle fermé borné et que $f$ y est continue.
• Montrer que $f$ est continue sur $I$.
  • Reconnaître une fonction spéiale continue ($log(x)$ ou $|x|$ par exemple): "on sait que cette fonction est continue sur cet intervalle".
  • Mettre $f$ sous forme de somme, produit, quotient, composée de fonctions continues.
  • (Désespoir) Donner $eta$ (voir pb suivant).
• Etant donné $epsilon$, donner un $eta$ pour la continuité de $f$ en $a$.
• Trouver $c> 0$ et $M > 0$ avec une majoration $|f'| = < M $ sur $ [a-c, a+c]$; Retourner $min(epsilon/M, c)$.
• (Désespoir) Adapter la méthode vue pour les suites.
• Montrer que $f(x)=c$ a une solution unique dans $I$.
• TV.
• (TV croissant) Montrer que $I$ est un intervalle où $f$ est continue et strictement croissante; puis, si $I=[a,b]$, montrer $f(a) =< c = < f(b)$; ou (et?), si $I=]a,b[$, montrer $m < c < M$, où $m$ et $M$ sont les limites de $f$ en $a$ et $b$.
• (TV croissant)...
• Montrer $f= < g$.
• Montrer que $g-f$ est positive (par la méthode TV).
• Montrer que $f$ tend vers plus l'infini (par exemple avec $x$).
• (Gendarme isolé) Trouver $g = < f$ (pour $x$ suffisamment grand), avec $g$ tendant vers plus l'infini (dans les mêmes conditions).

• Montrer que $f$ est injective.
  • Recevoir $x$ et $x'$ et l'info $f(x)=f(x')$ et retourner une preuve de $x=x'$.
  • Recevoir $x$ et $x'$ et l'info $x < > x'$ et retourner une preuve de $f(x) < > f(x')$.
• Montrer que $f$ est injective (cas linéaire).
  • Montrer que $Ker f$ est réduit à zéro.
  • Montrer que $f(x)=0$ implique $x=0$.
• Montrer que $f$ est surjective.
  • Recevoir $y$ et prouver que $f(x)=y$ a au moins une solution.
• Montrer que $f: E -> F$ est surjective (cas linéaire, dimensions finies).
  • Montrer $dim E =dim F + dim Ker f$.
• Calculer le cardinal d'un ensemble $E$ fini.
• Mettre $E$ sous forme d'une réunion disjointe $E' U E"$, calculer $card E'$ et $card E"$ et retourner leur somme.
• Trouver $f: E -> B$ et $s$ tels que le nombre de solutions de $f(x)=b$ soit toujours $s$. Retourner $s Card B $.

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Andre.HIRSCHOWITZ

Last modified: Feb 27