MIAS I, février/juin 2003, Résumés

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Bases adaptées.

J'ai montré comment, quand on sait que l'application linéaire $f: R³ -> R³$ vérifie $f³=0$, on peut fabriquer une base dans laquelle la matrice de $f$ a tout plein de zéros. A dire vrai, je n'ai pas traité le cas du rang $2$, mais je les ai vivement invités à y réfléchir. J'ai ainsi montré comment marche la méthode suivante:

Pour trouver une base adaptée à $f:E ->E$.

Partir d'une base $B0$ de l'intersection de $Im f$ et $Ker f$; compléter $B0$ en une base $BI$ de $Im f$ et en une base $BK$ de $Ker f$; compléter l'union de $BI$ et $BK$ en une base de $E$.

Déterminants.

J'ai expliqué les deux natures fonctionnelles du déterminant (de matrice versus de système carré de vecteurs) et les deux connections entre elles (lignes versus colonnes). Puis j'ai donné les méthodes:

Pour calculer le déterminant de $M$.

Se ramener au cas triangulaire en appliquant les règles de Gauss.
Développer (dans le cas particulier de Sarus).

Pour décider si $M$ est inversible.

$M$ est inversible ssi $det M$ est non-nul.

Géométrie affine.

Voir le lexique (ps, pdf) et l'exo-type 12 (ps, pdf).

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Andre.HIRSCHOWITZ

Last modified: May 5