Cas linéaire

Nous nous plaçons d'abord dans un cadre linéaire simple, qui permet de comprendre la situation. On suppose ici que l'opérateur d'observation

est égal à l'identité, et que le modèle

est linéaire. On suppose également que

commutent, ce qui est a priori le cas dans nos applications puisqu'on choisit souvent

proportionnel à la matrice identité. Dans ce cadre là, il est possible d'expliciter la solution de l'algorithme du nudging direct et rétrograde. Afin de simplifier considérablement les équations, on suppose ici que

, mais les résultats présentés ici restent vrais dans le cas général. À l'itération

, en supposant

, on a

$\displaystyle X_n(0)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left( I-e^{-2KT} \right)^{-1} \left( I-e^{-2nKT} \right) \int_0^T \left( e^{-(K+F)s}+e^{-2KT}e^{(K-F)s} \right) K X_{obs}(s) ds$
		$\displaystyle + e^{-2nKT} x_0$	(3.19)

Le résultat suivant donne alors l'existence de la trajectoire limite, et explicite sa forme [21]:

Théorème 3.2 Si $n \to +\infty$ , alors admet une limite, et

$\displaystyle \displaystyle \!\!\lim_{n\to +\infty}X_n(0)=X_{\infty}(0)= \left(... ...{-1} \int_0^T \!\!\left( e^{-(K+F)s}+e^{-2KT}e^{(K-F)s} \right) K X_{obs}(s)ds.$

(3.21)

De plus, si , pour tout $t\in[0,T]$ ,

$\displaystyle \displaystyle \lim_{n\to +\infty}X_n(t)=X_{\infty}(t)= e^{-(K-F)t} \int_0^t e^{(K-F)s} K X_{obs}(s) ds + e^{-(K-F)t} X_{\infty}(0).$

(3.22)

Sous les mêmes hypothèses, on peut prouver un résultat similaire pour les trajectoires rétrogrades, i.e. il existe une trajectoire limite $\tilde{X}_{\infty}(t)$ telle que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \tilde{X}_n(t)=\tilde{X}_{\infty}(t)$ , pour tout $t\in[0,T]$ . Cela prouve la convergence de l'algorithme BFN dans ce cadre là.

On peut remarquer que la solution limite (en direct comme en rétrograde) ne dépend plus de la condition initiale

utilisée pour initialiser l'algorithme.

Supposons à présent que les observations $X_{obs}$ soient solutions du modèle direct (3.1). Cela implique notamment que pour tout $t\in[0,T]$ ,

À noter que l'algorithme BFN a un comportement similaire sur les opérateurs paraboliques linéaires en dimension infinie, comme par exemple sur l'équation de la chaleur. Une décomposition des trajectoires sur une base de Fourier nous ramène à l'étude d'équations différentielles ordinaires du premier ordre sur les c $\oe$ fficients, et donne rapidement la convergence de l'algorithme dans ce cas là.