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Observateurs pour un modèle shallow water

Nous considérons ici un modèle shallow water, analogue à celui présenté dans la section 3.3.3. Nous le réécrivons toutefois sous une autre forme afin de mieux faire apparaître les symétries (nous renvoyons à [73] pour plus de détails). Dans la suite, $ h$ désigne toujours la hauteur du fluide, tandis que $ v$ est désormais le vecteur vitesse à deux composantes. Les équations considérées sont les suivantes, l'équation vectorielle pour la vitesse:

$\displaystyle \frac{\partial(hv)}{\partial t} + \left( \nabla . (hv) + (hv) . \... ...\nabla h - k \times f(hv) + (A \nabla^2 - R)(hv) + \frac{\tilde{\tau}}{\rho} i,$ (3.48)

et l'équation scalaire pour la hauteur d'eau:

$\displaystyle \frac{\partial h}{\partial t} = -\nabla . (hv).$ (3.49)

Dans ces équations, $ g'$ désigne la gravité réduite, $ \rho$ est la densité du fluide, $ f$ la force de Coriolis, $ i$ est le vecteur unitaire longitudinal (pointant vers l'est) et $ k$ est le vecteur vertical (altitude). Enfin, $ A$ , $ R$ et $ \tilde{\tau}$ sont les c\oefficients de viscosité latérale, friction et forçage par le vent respectivement.

On suppose que seule la hauteur d'eau $ h$ est observée, afin de se placer dans une situation réaliste où l'immense majorité des observations d'un océan proviennent des observations satellitaires, directement reliées à la hauteur d'eau de surface.

Un observateur $ (\hat{h},\hat{v})$ du système (3.48-3.49) est solution des équations suivantes:

$\displaystyle \frac{\partial(\hat{h}\hat{v})}{\partial t} + \left( \nabla . (\h... ...a^2 - R)(\hat{h}\hat{v}) + \frac{\tilde{\tau}}{\rho} i + F_v(h,\hat{v},\hat{h})$ (3.50)

et

$\displaystyle \frac{\partial \hat{h}}{\partial t} = -\nabla . (\hat{h}\hat{v}) + F_h(h,\hat{v},\hat{h}).$ (3.51)

Les observateurs $ (\hat{h},\hat{v})$ vérifient les mêmes équations que les solutions réelles $ (h,v)$ , à ceci près qu'elles contiennent un terme de rappel, $ F_v(h,\hat{v},\hat{h})$ dans l'équation sur la vitesse, et $ F_h(h,\hat{v},\hat{h})$ dans l'équation sur la hauteur d'eau. Le choix de $ F_v$ et $ F_h$ est d'abord dicté par le fait que les observateurs doivent tendre vers la solution exacte et jouent donc le rôle de termes de rappel vers la solution, mais aussi par les symétries du système. Ces termes de rappel doivent notamment être nuls lorsque $ \hat{h}=h$ et $ \hat{v}=v$ .

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