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Utilisation des symétries du modèle

Le modèle shallow water que nous considérons est invariant par rotation et translation, puisqu'il ne dépend ni de l'orientation, ni de l'origine du repère. Par conséquent, nous allons chercher des termes de rappel qui conservent ces invariances. La conception d'observateurs invariants (ou qui préservent les symétries du modèle) a été très récemment introduite, essentiellement pour des problèmes industriels [2,41]. L'idée sous-jacente est évidemment de ne pas perturber les symétries du modèle lors de l'ajout du terme de rappel vers les données dans les équations de l'observateur.

Pour le terme scalaire portant sur la hauteur d'eau, un résultat de calcul différentiel assure que tout opérateur différentiel scalaire invariant par rotation et translation s'écrit comme un polynôme du Laplacien [99]. Par des considérations d'invariance par rotation [88], on arrive ainsi à une famille d'opérateurs scalaires de la forme

$\displaystyle F_h = Q_1(\Delta,h,\vert\hat{v}\vert^2,\hat{h}-h)+\nabla\left( Q_2(\Delta,h,\vert\hat{v}\vert^2,\hat{h}-h)\right).\hat{v}+f_h,$ (3.52)

où $ Q_1$ et $ Q_2$ sont deux polynômes scalaires du Laplacien, et $ f_h$ est un terme intégral. Plus précisément,

$\displaystyle Q_i(\Delta,h,\vert\hat{v}\vert^2,\hat{h}-h)=\sum_{k=0}^N a_k^i(h,... ...}\vert^2,\hat{h}-h)\Delta^k\left(b_k^i(h,\vert\hat{v}\vert^2,\hat{h}-h)\right),$ (3.53)

où $ a_k^i$ et $ b_k^i$ sont des fonctions scalaires régulières qui s'annulent lorsque le troisième argument est nul. De même, le terme de rappel vectoriel sur la vitesse est de la forme

$\displaystyle F_v=P_1(\Delta,h,\vert\hat{v}\vert^2,\hat{h}-h)\hat{v}+\nabla \left( P_2(\Delta,h,\vert\hat{v}\vert^2,\hat{h}-h)\right)+f_v,$ (3.54)

où les polynômes $ P_1$ et $ P_2$ sont du même type que $ Q_1$ et $ Q_2$ .

On définit alors les termes intégraux $ f_v$ et $ f_h$ de sorte qu'ils soient eux aussi invariants par rotation et translation. On obtient ainsi les formulations suivantes:

$\displaystyle f_v(x,y,t)=\iint \left[ R_1(\Delta,h,\vert\hat{v}\vert^2,\hat{h}-... ...t{h}-h)\right) \right]_{(x-\xi,y-\zeta,t)} \phi_v(\xi^2+\zeta^2) d\xi d\zeta,$ (3.55)

$\displaystyle f_h(x,y,t)=\iint \left[ S_1(\Delta,h,\vert\hat{v}\vert^2,\hat{h}-... ...right).\hat{v} \right]_{(x-\xi,y-\zeta,t)} \phi_h(\xi^2+\zeta^2) d\xi d\zeta,$ (3.56)

où les polynômes $ R_i$ et $ S_i$ sont définis commes les polynômes $ Q_i$ et $ P_i$ .

Les supports de $ \phi_v$ et $ \phi_h$ permettent de définir une zone d'influence où cela a un sens de corriger l'observateur avec les valeurs observées. Dans le cas particulier où ces fonctions sont des fonctions Dirac, alors les fonctions $ f_v$ et $ f_h$ deviennent équivalentes aux autres termes de $ F_v$ et $ F_h$ .

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