La minimisation de est réalisée sur une suite de sous-espaces emboités:
(4.11) |
La différence principale avec les approches relevant du flot optique (voir par exemple [85,93]) est que nous considérons la minimisation de la fonctionnelle non linéaire , ce qui permet notamment d'identifier des champs de déplacement arbitrairement grands, contrairement aux approches où la fonction coût est linéarisée.
Une fois la minimisation réalisée, par exemple sur l'espace (ce qui rend l'optimisation particulièrement rapide, compte tenu de la réduction de la dimension du problème), le champ optimal est utilisé comme point de départ pour la minimisation sur l'espace , et ainsi de suite jusqu'à obtenir un minimum sur l'espace complet , et donc une solution totalement raffinée.
Les différentes optimisations sont faites avec un algorithme de Gauss-Newton. Ainsi, en initialisant la minimisation avec un champ donné (en pratique, un champ nul), cela revient à chercher une mise à jour sous la forme
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Une autre nouveauté de notre approche réside dans l'assemblage de la matrice , nécessaire à la résolution de l'équation (4.13).
Soit un champ de vecteurs de , i.e. défini sur la grille constituée de carrés de pixels. Soit la base canonique orthonormée de , qui contient donc des vecteurs nuls sauf sur une maille où le champ contient des vecteurs unitaires parallèles à l'un des deux axes de . Le cfficient de la matrice est alors égal à
(4.14) |
(4.15) |
Finalement, l'équation (4.13) est résolue avec une méthode de gradient conjugué sans préconditionnement.