Méthode primale pour un modèle linéaire

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Méthode primale pour un modèle linéaire

Considérons un modèle linéaire

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dx}{dt}+A(t)x=f+v, [0.4cm] x(0)=x_0+u, \end{array} \right.$

(5.21)

où

est un opérateur linéaire,

est l'erreur modèle inconnue, et

est la condition initiale, également inconnue.

représente une ébauche de la condition initiale, et

est l'erreur correspondante. On suppose comme précédemment que des observations

sont disponibles aux instants

au cours de la période d'assimilation

On peut alors définir une fonction coût type :

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathcal{J}(u,v)&=& \display... ...c{1}{2} \int_0^T \langle Q^{-1}v(t),v(t)\rangle dt. \end{array}\end{displaymath}$

(5.22)

où

désignent encore les matrices de covariance relatives à l'erreur sur la condition initiale, l'erreur modèle et les erreurs d'observation respectivement.

représente l'opérateur d'observation linéaire à l'instant

permettant de relier l'observation

à la solution du modèle au même instant

On peut désormais introduire l'état et le modèle adjoints de façon à calculer le gradient de la fonction coût :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{dp}{dt}+A(t)^Tp=\su... ...R_i^{-1} (y_i-H_ix(t_i)) \delta(t-t_i), [0.4cm] p(T)=0, \end{array} \right.$

(5.23)

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \displaystyle \nabla\mathcal{J}(u,v).\left... ...ngle + \int_0^T \langle Q^{-1}v(t),h_2(t)\rangle dt \end{array}\end{displaymath}$

(5.24)

On a alors le système d'optimalité suivant, d'inconnues $(\hat{x},\hat{p})$ :

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac... ...-t_i), [0.4cm] \hat{p}(T)=0. \end{array} \right. \end{array}\end{displaymath}$

(5.25)

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