Conclusion

Nous nous sommes intéressés à différents aspects et différentes techniques liés à l'assimilation de données. Nous avons tout d'abord regardé l'aspect minimisation des fonctionnelles. En effet, cela reste à ce jour un problème compliqué puisque les fonctionnelles que l'on rencontre en assimilation de données ne sont que très rarement quadratiques, et vivent dans un espace de très grande dimension. L'évaluation même de la fonction coût est déjà numériquement onéreuse. Nous avons donc testé différentes approches d'une classe d'algorithmes de minimisation, les algorithmes de type BFGS, afin de trouver celle qui était la plus performante pour des problèmes proches de ce qui nous intéresse. Nous avons ainsi constaté qu'il existe un grand choix dans tous les paramètres de ces algorithmes (formules de mise à jour, paramètres d'initialisation) et nous avons introduit une nouvelle façon de mettre à jour les matrices de préconditionnement permettant de gagner en efficacité, et donc en terme de temps de calcul.

Ensuite, dans l'idée un peu simpliste de reconstituer l'état initial à partir notamment d'une condition finale, nous avons regardé deux méthodes de résolution rétrograde qui consistent à intégrer les équations d'un modèle en partant de la condition finale dans l'idée d'identifier la condition initiale. Nous n'avons malheureusement rien pu obtenir de satisfaisant avec la méthode de quasi-réversibilité, qui a montré ses limites sur un problème relativement simple (l'équation de la chaleur rétrograde).

Par contre, le nudging rétrograde a montré qu'il est possible d'obtenir très rapidement une bonne évaluation de l'état initial, permettant éventuellement de servir d'ébauche pour un autre algorithme. En effet, sur le modèle quasi-géostrophique barotrope, nous avons réussi à réduire de façon non négligeable l'erreur sur la condition initiale en seulement une intégration (rétrograde) du modèle. Néanmoins, sous cette forme, le nudging ne permet pas d'obtenir plus qu'une ébauche de la condition initiale et ne permet pas de remplacer les méthodes variationnelles classiques comme le 4D-VAR dans une optique prévisionnelle.

Nous avons ensuite introduit l'algorithme 4D-PSAS, ou algorithme dual, dans un cadre purement linéaire. Cet algorithme se trouve être mathématiquement équivalent à l'algorithme primal qu'est le 4D-VAR puisque les deux fonctions coût (primale et duale) correspondent aux deux écritures possibles d'un problème min-max, et fournissent donc le même minimum.

Nous avons ensuite testé une extension de l'algorithme dual, dérivée du 4D-PSAS pour fonctionner sur un modèle non linéaire, sur le modèle quasi-géostrophique barocline afin de la comparer avec un algorithme variationnel classique, le 4D-VAR. Nous avons mis en évidence les nombreux avantages de la méthode duale par rapport à l'algorithme primal : une meilleure sensibilité au nombre d'observations, même si la méthode primale s'avère plus performante lorsque le nombre d'observations disponibles devient proche de la dimension du vecteur d'état ; une meilleure sensibilité à la présence d'un terme d'erreur dans le modèle ; la prise en compte inhérente d'un terme de bruit dans le modèle (nous avons constaté que la méthode duale permettait de trouver une bonne estimation de la condition initiale à partir d'observations générées sur un modèle biaisé) ; un gain relatif en rapidité,....

Ce travail nous encourage donc à faire plus de tests numériques sur d'autres configurations d'océans, mais aussi sur des périodes d'assimilation plus longues par exemple. Il faudrait aussi bien évidemment étudier un peu plus en détail la robustesse de la méthode duale sur les problèmes non linéaires mais aussi faire des expériences numériques avec une ébauche plus lointaine de la condition initiale exacte. Il y a aussi probablement bien d'autres façons de concevoir un algorithme dual pour un problème non linéaire. Le but de tout ceci reste assez clairement d'obtenir à court ou moyen terme un système d'assimilation de données opérationnel et réaliste, basé sur un algorithme du type 4D-PSAS. Il ne faut pas non plus négliger d'autres voies, pas forcément encore explorées dans un contexte océanique et dérivées d'études portant sur d'autres domaines scientifiques.