Si on effectue un développement limité de au voisinage de , on obtient :
et donc, pour que soit une bonne approximation de , on peut imposer à de vérifier le long de , c'est-à-dire vérifier la relation de quasi-Cauchy :
Par conséquent, il faudra effectuer avant (ou éventuellement après) la mise à jour de la matrice diagonale une mise à l'échelle, de sorte que la nouvelle matrice diagonale ait la bonne propriété. Il conviendra donc de multiplier par .
Cette mise à l'échelle permet d'économiser un certain nombre d'itérations et d'évaluations de la fonction coût et de son gradient [19].
L'impact de cette mise à jour sera étudié par la suite pour les trois premières formules de mise à jour du préconditionneur diagonal. En effet, cette mise à l'échelle n'a aucun sens dans le cas de la formule de quasi-Cauchy (3.6) puisque par construction, la nouvelle matrice diagonale vérifie déjà la condition (3.7).