Étudions désormais le lien entre la matrice hessienne et la matrice de covariance des erreurs d'analyse. Si on note les observations du système, une estimation de l'état initial du système et l'état initial réel du système, on cherche alors à minimiser la fonctionnelle suivante :
Le minimum de la fonctionnelle est caractérisé par
La matrice hessienne au minimum est alors :
En supposant linéaire et en introduisant l'état initial réel du système dans l'équation (3.9), on obtient :
soit encore
En multipliant à droite par l'expression transposée et en prenant l'espérance mathématique, on trouve la matrice des covariances d'erreur d'analyse :
On peut toutefois remarquer que la formule (3.11) donnant la matrice des covariances d'erreur d'analyse se déduit directement de (3.8) lorsque l'opérateur est supposé linéaire.
On en déduit alors que la hessienne inverse approche la matrice des covariances d'erreur d'analyse lorsque les non linéarités sont négligeables et que est dans un voisinage de où peut être considérée comme constante.