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Justifications théoriques

Soient $ V$ et $ H$ deux espaces de Hilbert avec $ V \subset H$ , $ V$ dense dans $ H$ . On note $ V'$ le dual de $ V$ et on identifie $ H$ à son dual, de sorte que $ V \subset H \subset V'$ . On se donne à chaque instant $ t \in [0,T]$ un opérateur $ A(t)\in\mathcal{L}(V;V')$ . On peut alors construire une famille de formes bilinéaires $ a(t;u,v)$ sur $ V$ .

Supposons que $ a$ vérifie :

  1. $ \forall u,v \in V,$ la fonction $ t \to a(t;u,v)$ est mesurable.
  2. $ a$ est uniformément continue sur $ [0,T] \times V \times V$  :

    $\displaystyle \exists M > 0 \textrm{ tel que } \forall t \in [0,T], \forall u,v \in V,\ \vert a(t;u,v)\vert _H \le M \Vert u\Vert _V . \Vert v\Vert _V . $

  3. $ a$ vérifie la propriété de coercivité élargie :

    $\displaystyle \exists \lambda >0, \alpha >0 \textrm{ tels que } a(t;v,v) + \lam... ...vert _H^2 \ge \alpha \Vert v\Vert _V^2, \forall t \in [0,T], \forall v\in V. $

Alors nous avons les résultats suivants ([28]) :

Théorème 4.1   Soient $ f\in L^2([0,T],V')$ et $ \xi\in H$ . Sous les hypothèses énoncées précédemment sur $ a$ , il existe une unique solution $ u$ de (4.1) avec $ u\in L^2([0,T],V)$ et $ \displaystyle \frac{du}{dt}\in L^2([0,T],V').\quad \blacksquare$

Notons $ D(A(t))$ l'ensemble des fonctions acceptables en vue du problème (4.3) :

$\displaystyle D(A(t))=\{v\in V; A(t)v \in H\}. $

Théorème 4.2   Sous les hypothèses du théorème 4.1, en supposant en outre que $ D(A(t))$ est un espace indépendant de $ t$ , alors le problème (4.3) admet une unique solution $ u_\varepsilon $ avec $ u_\varepsilon \in L^2([0,T],D(A(t))$ et $ \displaystyle \frac{du_\varepsilon }{dt} \in L^2([0,T],D(A(t)).\quad \blacksquare$

Démonstration : Voir [24]. $ \quad \square$

Nous avons désormais la possibilité de résoudre le problème rétrograde perturbé. Intéressons nous à la convergence de la suite de solutions ainsi construites :

Théorème 4.3   Sous les hypothèses du théorème 4.2, en supposant de plus que la forme bilinéaire $ a$ est indépendante du temps et symétrique (i.e. $ A$ auto-adjoint), alors $ U_\varepsilon (T) \to \chi$ dans $ H$ lorsque $ \varepsilon \to 0$ , $ U_\varepsilon \in L^2([0,T],V)$ étant défini par (4.4). $ \quad \blacksquare$

Démonstration : Voir [24] et [6]. $ \quad \square$

La convergence de la suite des états finaux $ U_\varepsilon (T)$ vers l'état final de référence $ \chi$ est acquise, mais la convergence de la suite $ U_\varepsilon $ en n'importe quel autre point de $ [0,T]$ n'a généralement pas lieu d'être. Nous allons maintenant appliquer numériquement la méthode de la quasi-réversibilité à l'équation de la chaleur.

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