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Résultats théoriques

Considérons un ouvert $ \Omega$ de $ \mathbb{R}^n$ , et $ u=u(x,t)$ la solution (unique) de

\begin{displaymath}\begin{array}{lcl} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t... ... \ge 0 [0.3cm] u(x,0) = \xi(x), & & x\in \Omega, \end{array}\end{displaymath} (4.5)

où $ \nu$ est le c\oefficient de diffusion, que nous prendrons égal à $ 1$ pour simplifier, quitte à renomarliser les variables d'espace-temps $ x$ et $ t$ . Pour simplifier le problème, nous nous placerons dans la suite en dimension $ 1$ sur l'ouvert $ \Omega=]0,1[$ et sur l'intervalle $ [0,T]$ en temps.

L'instabilité de l'équation de la chaleur rétrograde (obtenue après un changement de variable $ t \leftrightarrow T-t$ )

\begin{displaymath}\begin{array}{lcl} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t... ...]0,T[ [0.3cm] u(x,0) = \chi(x), & & x\in \Omega, \end{array}\end{displaymath} (4.6)

est connue :

Théorème 4.4   $ \exists (u_n)$ une suite de solutions de $ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} +\Delta u = 0$ telle que $ \Vert u_n(x,0)\Vert _{L^2} \to 0$ et $ \Vert u_n(x,T)\Vert _{L^2} \to \infty$ lorsque $ n\to \infty. \quad \blacksquare$

Il n'existe donc en général pas de solutions au problème de la chaleur rétrograde (4.6).

Nous allons considérer le problème suivant, en accord avec la méthode de la quasi-réversibilité :

\begin{displaymath}\begin{array}{lcl} \displaystyle \frac{\partial u_\varepsilon... ...cm] u_\varepsilon (x,0) = \chi(x), & & x\in \Omega. \end{array}\end{displaymath} (4.7)

Les théorèmes 4.2 et 4.3 s'appliquent dans ce cas particulier (l'opérateur laplacien vérifie bien toutes les hypothèses de ces théorèmes), et en résolvant uniquement des problèmes bien posés (existence et unicité de la solution), on peut construire des solutions de l'équation de la chaleur (4.5) aussi proches que l'on veut de $ \chi$ à l'instant final.

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