Le principe du nudging est le suivant : considérons un système dynamique dont l'état à l'instant est défini par un vecteur de , et régi par une équation différentielle du type
Ces observations sont des vecteurs de avec . En effet, généralement, les observations ne concernent qu'une partie du système. Par exemple, il est assez difficile d'obtenir des observations océaniques en profondeur et elles sont en quantité négligeable par rapport aux observations de surface. Il faut donc un opérateur de projection de l'espace des vecteurs d'état dans celui des vecteurs d'observation . Nous avons également besoin d'une matrice (appelée plus tard matrice de nudging) permettant de passer d'un vecteur d'observations à un vecteur d'état .
Les observations dont on dispose étant réalisées par des stations-sondes ou des satellites par exemple dans le cas de la météorologie, elles ne sont pas parfaites. Nous appellerons dans la suite erreur d'observation la différence entre les observations et les états réels du système .
Le nudging consiste alors à chercher une solution de l'équation (4.14) qui soit la plus proche possible de l'échantillonage . Pour celà, on rajoute un terme de rappel aux observations aux instants :
Nous verrons dans la suite que le choix des cfficients de est très important puisque si est choisie trop petite, l'équation (4.15) sera pratiquement identique à l'équation (4.14) et la présence d'observations disponibles ne sera pratiquement pas exploitée. À l'inverse, si les cfficients de la matrice de nudging sont choisis trop grands, la solution ainsi fabriquée ne sera plus représentative des équations primitives du modèle. De plus, les différents cfficients de permettent de répartir à toutes les coordonnées des vecteurs d'état l'information disponible uniquement sur certaines composantes. Cela permet par exemple dans le cas d'un océan de propager l'information souvent disponible uniquement en surface à tous les niveaux de profondeur.
L'avantage de cette méthode par rapport à des méthodes plus classiques d'assimilation de données est sa simplicité et son faible coût de mise en uvre lors de tests numériques. En effet, à part le choix de , certes important, la méthode ne consiste qu'à intégrer l'équation (4.15) pour obtenir une trajectoire passant relativement près de toutes les observations et à partir de laquelle des prévisions futures peuvent être obtenues en intégrant simplement le système initial (4.14). Nous verrons dans les parties concernant les applications numériques la qualité des prévisions que l'on pourra en déduire.