Équations du modèle

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Équations du modèle

Le modèle quasi-géostrophique barocline à couches est un système de équations couplées résultant de la loi de conservation du potentiel de vorticité. Les équations peuvent s'écrire de la façon suivante :

pour la couche de surface ( ) :

$\displaystyle \frac{D_1\left( \theta_1(\Psi)+f \right)}{Dt}-\beta\Delta^2\Psi_1=F_1 \qquad \textrm{dans } \Omega \times ]0,T[ ;$ (5.1)
pour les couches intermédiaires ( $2 \le k \le n-1$ ) :

$\displaystyle \frac{D_k\left( \theta_k(\Psi)+f \right)}{Dt}-\beta\Delta^2\Psi_k=0 \qquad \textrm{dans } \Omega \times ]0,T[ ;$ (5.2)
pour la couche du fond ( ) :

$\displaystyle \frac{D_n\left( \theta_n(\Psi)+f \right)}{Dt}+\alpha \Delta\Psi_n -\beta\Delta^2\Psi_n=0 \qquad \textrm{dans } \Omega \times ]0,T[. \vspace{0.3cm}$ (5.3)

Les notations sont les suivantes :

désigne le nombre de couches du modèle.
Le domaine $\Omega$ est le bassin.
$\Psi_k$ représente la fonction de courant dans la couche .
On note $\Psi$ le vecteur $\displaystyle \left( \begin{array}{c} \Psi_1 \vdots \Psi_n \end{array} \right)$ .
$\theta_k$ est la somme de la vorticité dynamique ( $\Delta\Psi_k$ ) et de la vorticité thermique ( $-(W\Psi)_k$ ) pour la couche :

$\displaystyle \theta_k(\Psi)=\Delta\Psi_k-(W\Psi)_k$

avec

$\displaystyle \displaystyle -(W\Psi)_k=\frac{f_0^2\rho}{h_k g} \left( \frac{\Ps... ...Psi_k}{\rho_{k+1}-\rho_k}-\frac{\Psi_k-\Psi_{k-1}} {\rho_k-\rho_{k-1}} \right).$

Il faut noter que la vorticité thermique peut être assimilée à un laplacien vertical, pondéré par les densités du fluide dans les différentes couches.
désigne la force de Coriolis, étant sa valeur à la latitude de référence de l'océan.
Dans l'approximation du $\beta$ -plan, la force de Coriolis varie linéairement en fonction de la latitude.
représente la force gravitationnelle.
$\rho_k$ est la densité du fluide dans la couche et $\rho$ est la densité moyenne du fluide. Le modèle barocline s'appuie en effet sur le principe de couches de fluide de densité constante.
est la hauteur de la couche .
L'opérateur $\displaystyle \frac{D_k}{Dt}$ correspond à la dérivée particulaire Lagrangienne :

$\displaystyle \frac{D_k}{Dt}=\frac{\partial }{\partial } + J(\Psi_k,.)$

où est l'opérateur Jacobien

$\displaystyle J(f,g) = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial x}.$
$\alpha \Delta\Psi_n$ représente la dissipation par frottement au fond du bassin et $\beta\Delta^2\Psi_k$ la dissipation par friction latérale dans chaque couche .
Enfin, est l'unique terme de forçage du modèle océanique. Il correspond à la tension du vent sur la surface du bassin.

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