J'ai institutionnalisé la théorie
des fonctions continues, avec les règles d'introduction (via suites
et via epsilons), les règles de reproduction (somme, composée,
réciproque) et les règles d'élimination (valeur intermédiaire
et maximum). Enfin j'ai décortiqué la
preuve de continuité de la somme.
J'ai expliqué le théorème des accroissements finis et les méthodes et dessins permettant de trouver $eta$, plus précisément de résoudre l'exo-type 6 (tex,ps,pdf).
Voici quelques indications sur une façon (que je préconise) pour faire cet exo.
a) Calculer $f'$ et voir par exemple $f'(x)>=1$ pour $x>=1$.
c) Appliquer les accroissements finis.
d) Faire un dessin et donner l'expression utilisant la fonction réciproque.
e) Dessiner l'intervalle précédent et son plus grand
sous-intervalle centré en $2$.
On voit sur le graphe et on sait que le côté raccourci
est à gauche si $f$ est convexe et à droite sinon.
f) Ici on remplace juste $0,1$ par $epsilon$ petit, et les intervalles
ouverts par des inégalités larges.
g) Ici on doit traiter aussi $epsilon$ grand, et les inégalités
sont réécrites avec la valeur absolue.
h) Ici on a les inégalités méchantes, ce qui s'arrange
en divisant $eta$ par deux.