Rappel
: Devoir distribué pendant la
séance
de pré-rentrée à rendre au plus tard vendredi
30 sept. Leçon et développement à préparer
pour mercredi 28 sept, à rendre au plus tard le lundi 3 oct.
Documents distribués :
Panorama du programme des Classes
Préparatoires : Algèbre (document de 2003-04),
feuille de TD,
feuille
d'exercices de l'année 2004-05.
1. Sondage oral : Notions et énoncés sur le
thème de l'algèbre linéaire.
Comparer avec les pages 4 et 5 du premier document
distribué. Certains sous-thèmes seront repris lors de
prochains panorama (Cf
programme
des cours 2004-05) : déterminant, dualité,
réduction des endomorphismes, espaces vectoriels euclidiens ou
hermitiens.
L'algèbre linéaire est à la base de certains
thèmes connexes : géométrie affine, formes
quadratiques et quadriques, espaces vectoriels normés (analyse),
géométrie euclidienne, géométrie
différentielle.
2. Autour de l'exercice 1 de la feuille de TD
Attention à la rédaction.
"Montrer qu'il y a une bijection naturelle entre .." : Si possible,
exhiber une application candidate pour être la bijection. Ce
n'est pas toujours possible.
Si possible, exhiber un candidat pour l'inverse. Il suffit alors de
montrer que les composées sont l'identité.
Utiliser les outils de l'algèbre linéaire : si
l'application est linéaire, on peut calculer la dimension du
noyau et utiliser le théorème du rang pour décider
si l'application est injective, surjective.
Rq : le noyau d'une application linéaire est donné par
une équation sans quantificateur. L'image semble moins à
portée : elle est définie implicitement avec usage d'un
quantificateur ; mais pour une application linéaire on dispose
d'algorithmes. Lesquels ?
3. Devoir pour le 3 octobre
En plus des devoir pour le 26 sept. non rendus, terminer la feuille de
TD. Prendre soin de la rédaction. (Rédiger dans le style
d'un développement de leçon.)