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Burgers visqueux

On considère désormais une équation classique de transport non linéaire, l'équation de Burgers, dans un cas visqueux. On se place également dans le cas d'une seule itération de l'algorithme BFN:

\begin{displaymath}\begin{array}{rl} (F) & \left\{ \begin{array}{rcl} \partial_t... ...etilde{u}\vert _{t=T} &=& u(T), \end{array} \right. \end{array}\end{displaymath} (3.30)

avec les mêmes notations que précédemment. On suppose également que les observations $ u_{obs}$ sont solution de l'équation de Burgers directe:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{rcl} \partial_t u_{obs} -\nu \partial_{xx} ... ...rt _{x=0}=u\vert _{x=1}&=&0, u\vert _{t=0} &=& u_{obs}^0. \end{array} \right.$ (3.31)

Alors nous avons le résultat suivant [30]:

Théorème 3.4   Si la fonction $ K$ n'est pas identiquement nulle, une itération de BFN (3.30) pour l'équation de Burgers visqueux, avec des observations $ u_{obs}$ vérifiant l'équation (3.31), est mal posée au sens où il n'existe pas de solution $ (u,\widetilde{u})$ .

Dans le cas particulier où $ K=K'=0$ , le problème rétrograde est mal posé au sens d'Hadamard (non continuité par rapport à la donnée finale), mais il admet une unique solution si la condition finale $ \widetilde{u}\vert _{t=T}$ est égale à la solution finale du modèle direct. De plus, dans ce cas particulier, la solution rétrograde est exactement égale à la solution directe: $ \widetilde{u}(t) = u(t)$ pour tout $ t\in[0,T]$ . Le résultat est le suivant [30]:

Proposition 3.1   Si $ K=K'=0$ , alors le problème (3.30) est bien posé au sens de Hadamard, et il existe une unique solution $ (u,\widetilde{u})$ . De plus, $ u=\widetilde{u}$ .

L'algorithme BFN est donc mal posé (sauf si $ K=K'=0$ ) dans le cas des équations de Burgers visqueux, au sens où il n'existe pas de solution au problème rétrograde. Toutefois, d'un point de vue numérique, nous avons obtenu de très bons résultats sur ce type de modèle [22]. Cela s'explique vraisemblablement par le caractère discret du problème effectivement résolu.

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